多分量可積系統的Reciprocal變換和Backlund變換

《多分量可積系統的Reciprocal變換和Backlund變換》是依託西北大學，由康靜擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：多分量可積系統的Reciprocal變換和Backlund變換
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：康靜
• 依託單位：西北大學

項目摘要

本項目主要針對多分量可積系統，利用Reciprocal 變換和Backlund 變換，研究其可積性質和精確解。首先，基於非局部Reciprocal 變換給出二分量高階擬線性發展方程組到半線性發展方程組的完全分類；建立二分量高階擬線性發展方程組與已知半線性可積系統之間的聯繫；通過以Reciprocal 變換為核心的系列變換，建立二分量可積系統之間的聯繫。其次，基於點變換形式Hodograph變換，給出C-可積的二階擬線性發展方程組的完全分類；構造二分量擬線性發展方程組柯西問題的精確解。第三，研究允許Backlund 變換的二分量三階非線性發展方程組的完全分類。最後，由已知的多分量雙哈密頓系統，利用Backlund 變換尋找新的多分量可積模型；研究其自Backlund 變換；分析其孤立子解存在性和形成機理；探討其雙哈密頓結構、遺傳對稱、Lax對等可積性質，以及在此基礎上的散射和反散射問題。

結題摘要

本項目的研究領域是數學物理，研究方向是可積系統及其套用，主要研究內容為可積方程族的Liouville相關性；基於結合Bäcklund變換和tri-Hamiltonian對偶理論的方法，多分量可積系統的構造及其行波解的分類；不同幾何中若干可積曲線流的Bäcklund變換的幾何結構；幾種多分量CH類系統可積性質和精確解。已取得的重要結果和科學意義體現在以下四個方面。首先，系統地研究了幾類具有典型非線性特徵和非局部效應的可積方程族的Liouville相關性問題，分別證明了mCH和mKdV可積方程族、Novikov和SK可積方程族、DP和KK可積方程族、short-pulse和sine-Gordon可積方程族之間的Liouville相關性，發現了mCH和CH方程、DP和Novikov方程之間的非平凡內在聯繫。其次，提出了結合Bäcklund變換和tri-Hamiltonian對偶理論的方法，該方法為構造支持tri-Hamiltonian對偶結構的非線性可積系統提供了可行方案。研究了具有典型物理背景的兩分量和三分量可積的色散水波系統和修正的色散水波系統的對偶可積結構，得到了多個新的對偶可積系統，並給出了行波解的分類，發現了幾種新的具有間斷點的Cuspon型非光滑孤立波。第三，系統研究了不同幾何中若干可積曲線流的Bäcklund變換的幾何結構，得到了聯繫兩組可積曲線流方程的Bäcklund變換，並利用某些顯式的Bäcklund變換，構造相應可積方程的精確解。最後，研究了非局域µCH系統的非局部對稱和守恆律；利用不變子空間結合分離變數以及擾動的方法研究了兩分量b族CH類系統自相似解的結構、解的全局存在性以及有限時間爆破的性質。