《奇點理論與可積系統》是依託清華大學，由劉思齊擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：奇點理論與可積系統
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：劉思齊
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題的目標是通過可積系統方法研究與物理上的Landau-Ginzburg（LG）模型有關的數學問題，特別是最近由范輝軍、Jarvis和阮勇斌提出的量子奇點理論。可積系統方法是Gromov-Witten（GW）不變數理論中的一種研究方法，它的基本思想是通過GW不變數的生成函式（物理上叫做配分函式）所滿足的可積方程簇來刻畫這些不變數。本課題的目標是試圖對LG模型對應的可積系統給出一個更為明確的答案，其基本想法來自最近關於ADE型奇點以及Toda猜想的一系列工作。ADE型奇點的LG模型的配分函式滿足由相應的無扭仿射Lie代數的基本表示出發構造的可積系統， 而這種Lie代數可以通過相應的quiver表示範疇經過Ringel-Hall（RH）構造得到。所以不難想像，對於一般的奇點，它對應的可積系統應該也可以通過與之有關的某個三角範疇的RH代數構造出來，這就是本課題要研究的具體問題。
結題摘要
本課題的目標是通過可積系統方法研究與理論物理中的 Landau-Ginzburg (LG) 模型有關的各種數學問題，特別是最近幾年比較熱門的 Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW) 不變數理論以及其它相關理論。 LG 模型是理論物理、特別是超弦理論中的重要研究對象。從一個 LG 模型出發，存在兩種上同調場論，分別叫做這個 LG 模型的 A 理論和 B 理論。其中 A 理論的數學基礎即 FJRW 不變數理論，而 B 理論則對應奇點的形變理論。 我們這裡所說的可積系統方法是 Gromov-Witten (GW) 不變數理論中的一種研究方法，它的基本思想是通過 GW 不變數的生成函式（物理上叫做配分函式）所滿足的可積方程簇來刻畫這些不變數。本課題試圖對奇點的 FJRW 等理論作類似的刻畫。 我們的研究成果可以分為以下幾個方面： 1. 給出了 BCFG 型 FJRW 理論的正確構造，並證明了相應的 Witten 猜想。 2. 完成了雙 Hamilton 結構分類問題的存在性定理的關鍵步驟。 3. 發現了一般的半單上同調場論虧格二自由能的一種顯式表達，猜想並證明其中最複雜的餘項對於 ADE 型奇點或 P^1 軌形其實是等於零的。 4. 定義了一般的半單上同調場論的抽象 Hodge 積分理論，給出了這種 Hodge 積分的一個算法，並根據計算結果提出了若干有趣的猜想。 除此以外，我們還有一些其它方面的工作，再次不再贅述。
