負可積系統

《負可積系統》是依託鄭州大學，由楊瀟擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：負可積系統
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：楊瀟
• 依託單位：鄭州大學

項目摘要

可積系統的研究是非線性科學的重要方向之一。非線性可積系統不僅在數學物理、理論物理、統計物理乃至凝聚態物理這些自然科學領域中有著廣泛的套用，在現實生活與實踐中也處處存在。因此，人們在討論一些經典可積系統的同時，積極致力於尋找新的可積系統。由於非線性理論的複雜性，新可積系統的尋找十分困難。本項目針對已獲得的正可積系統，從負方向進行分析和研究。尋找負向的Lenart運算元，建立勢函式與Lenart梯度間新的約束關係，進而得到負可積系統。通過負可積系統對應的1+1維非線性方程，得到高維非線性方程。同時，將新的負系統與原正系統的做比較，尋找二者間的聯繫，擬在此基礎上構建更豐富的非線性方程族。最後，給出所得非線性方程的解並進行計算機模擬。本項目通過對具體非線性系統進行討論，擬從中總結出一般規律，為更廣泛更深入地研究非線性系統提供參考，為實現其現實套用提供指導。

結題摘要

本項目在已知正可積系統的基礎上，利用Lenard運算元，構造負向Lenard遞推方程，進行負向分析和研究，得到了一些負可積系統及相應的混合可積系統。對所得非線性方程，通過等譜族將其分解，利用Abel-Jacobi坐標得到方程的參數解，利用Riemann反演得到方程的代數幾何解。項目的開展分為兩個階段：第一階段主要討論連續系統（如KN系統、AKNS系統），第二階段主要討論離散系統（如Toda系統、Volterra系統）。在討論KN系統時，由於其負向可積系統已經得到，研究重點放在方法上。我們給出了兩種得到負可積系統的研究思路：由正向Lenard運算元得到負向Lenard遞推方程和由負向KN譜問題得到的Lenard運算元得到的負向Lenard遞推方程。雖然二者的Lenard運算元對不同，得到的Lenard序列及向量場也不同，但最終給出的方程族一致，方程族對應的有限維Hamilton系統也一致。這一現象有普遍性，為研究負向系統的方法提供了兩種不同的選擇。 在項目進行中，一大困難是負向Lenard遞推方程的解不能由原有位勢顯式給出。上述四個系統中除KN系統外都存在這個問題。我們在處理這類問題時，將負向Lenard遞推方程的解形式設出（即新位勢），找到形式解的適當約束，得到負向可積系統。在這種情況下混合系統將出現兩種形式：通過運算消去新位勢得到的，只含原位勢的混合方程族；及一般的含有原、新兩種位勢的混合方程族。 目前，對於連續系統的研究較為完整，一般可將所得方程的代數幾何解給出；而對於離散系統，給出所得方程對應的辛映射和Hamilton系統的Jacobi反演問題，其代數幾何解的求得還存在困難，需在今後的工作中進一步研究。