《生成高維可積方程族的代數方法》是依託中國礦業大學，由張玉峰擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：生成高維可積方程族的代數方法
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張玉峰
- 依託單位：中國礦業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
尋求新的可積系統並研究它們的代數與幾何性質一直是孤立子理論的重要研究課題之一。本項目重點探討高維可積方程族的代數生成法以及約化方程的代數與幾何性質，研究內容包括以下幾方面：1.引進高階方陣李代數，由自對偶的Yang-Mills方程的不同約化方程尋求新的高維可積方程族及其哈密爾頓結構；2.利用已知方程的多參數李群相應的運算元李代數，結合自對偶的Yang-Mills方程尋求新的可積方程族；3.構造高階方陣李代數利用Fokas-Tu代數遞推格式，尋求高維可積方程族及其哈密爾頓結構；4.將上述代數方法推廣到高維離散可積系統。
結題摘要
本項目研究內容主要有以下幾方面： 首先，在高維微分方程生成方面，我們採用了7種方法，分別是自對偶的YM方程的約化法、FT代數遞推法、多參數李群的李代數法、組合計數法、齊次空間裡代數分解法、BRR方法、R-矩陣法。利用這些方法研究了高維微分方程族和相應的哈密爾頓結構、守恆律，等性質。我們改進了已有的二次型恆等式，得到了生成2+1維可積方程族的哈密爾頓結構的2+1維擴展跡恆等式。R-矩陣法中，我們選取適當的運算元由Lax方程生成新的可積方程族；在計算哈密爾頓結構方面，採用Casimir函式的變分展開法。我們提出的BRR方法是Magri的二項式表示法的改進，利用組合公式的逆公式，將哈密爾頓運算元對的遞推關係簡單地表示出來。利用組合公式將Miura-Gardner-Kruskal遞推序列的子列的生成函式及其係數表示出來，通過組合公式將KdV方程的守恆密度規範化。另外，利用多參數變換群的李代數和子代數生成可積方程族。由齊次空間代數法我們推廣了Fordy和Hulish的關於薛丁格方程的有關結果。 其次，在離散可積方程族的生成及其有關性質研究方面，我們採用非等譜線性方程，由其相容性條件得到了高維方程族及其哈密爾頓結構、守恆律、達布變換，等。利用R-矩陣法，通過Lax方程得到了高維離散可積方程族，其哈密爾頓結構由Casimir函式的變分展開式求得。利用代數曲線理論，我們得到了一類廣義Toda格方程系統的代數幾何解。 另外，利用李群分析法，我們得到了一些高維方程的對稱、相似約化、Backlund變換、無窮守恆律，等性質。利用改進的黎曼Theta函式法，得到了高維方程的周期波解。利用Bell多項式法得到了微分方程的Lax對、雙線性形式、Backlund變換，等。構造二維歐式空間的叉積空間定義換位子，使它成為列向量李代數，引進適當的譜問題，套用屠格式得到了系列多分量可積方程族，並用二次型恆等式求得了它們的哈密爾頓結構。 本項目研究期間，發表國內外學術期刊論文37篇，其中SCI檢索論文35篇；出版專著1部，科學出版社，2014年。
