《齊性空間中的不變曲線流和對偶可積系統》是依託陝西師範大學，由宋軍鋒擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：齊性空間中的不變曲線流和對偶可積系統
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：宋軍鋒
- 依託單位：陝西師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究齊性空間中不變曲線流和Camassa-Holm型可積系統之間的關係。利用等變活動標架法,可以建立齊性空間中曲線的微分不變數和Serret-Frenet公式。當曲線流滿足一定條件（如保弧長條件）時，曲線流的Cartan結構方程給出曲線曲率或其他幾何量所滿足的方程，這包括經典具有光滑孤子解的可積系統和與其對偶的具有非光滑孤子解的Camassa-Holm型可積系統（已知的或新的），這樣我們可以幾何實現（或構造）一些新的對偶可積系統。利用曲線流的幾何結構可以研究這些方程的可積性質，如Lax對，守恆律，遞推運算元，（非局部）對稱，或幾何變換等。利用Beffa的幾何Poisson約化技巧，還可以得到這些可積系統的（雙）哈密頓結構。這些研究有助於我們深入了解微分幾何與可積系統間的關係及一些對偶可積系統的性質。
結題摘要
可積系統與齊性空間中的不變曲線流之間有著密切的關係。迄今，許多經典的1+1可積系統被證明來自不同幾何結構中的非伸縮的不變曲線流。這為可積系統的研究提供了新的觀點和幾何解釋。本項目主要研究若干齊性空間中的曲線流和一些對偶可積系統之間的關係。這些空間包括：Symplectic-Grassman空間G(2,4)=Sp(4,R)/H，雙曲空間和其它一些齊性空間。基於Fels-Olver的等變活動標架法理論，我們得到了齊性空間中曲線的微分不變數和群不變的Serret-Frenet方程。當齊性空間中的曲線流滿足一定條件（如保弧長條件）時，曲線流誘導出曲線的曲率或其他幾何量所滿足的演化方程。這樣我們可以幾何實現（或構造）一些可積系統。利用Beffa的幾何Poisson約化技巧，還可以得到這些可積系統的（雙）哈密頓結構。我們的主要結果如下：我們建立了Symplectic-Grassman空間G(2,4)上正則曲線的Serret-Frenet公式和平行標架公式，證明了矩陣mKdV方程可以幾何實現為G(2,4)上的不變曲線流，並得到了矩陣mKdV方程的幾何雙哈密頓結構和遞推運算元。我們證明了經典的Camassa-Holm方程和修正Camassa-Holm方程分別可以幾何實現為中心仿射平面SL(2,R)/H與雙曲平面SL(2,R)/ SO(2)上的非伸縮的不變曲線流運動。此外，我們構造了一些新的N-分量Camassa-Holm型可積系統。這些結果有助於更深入探討微分幾何與可積系統之間的關係。
