《基於物理和幾何的相變與凝聚現象》是依託華中師範大學，由楊軍擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：基於物理和幾何的相變與凝聚現象
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：楊軍
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究一些來源於物理和幾何的非線性橢圓型偏微分方程，包括Allen-Cahn方程，Gross-Pitaevskii方程，Landau-Lifshitz方程，奇異攝動問題；主要是用PDE領域的技術來刻畫這些方程所蘊含的具有複雜幾何結構的相變層現象, 渦旋現象和凝聚現象, 以及它們內部的作用機理，期望獲得處理一類更廣泛的反映擴散方程的方法, 促進對非線性現象的認識.
結題摘要
非線性相變現象普遍存在於物理、化學、生物以及相關的各個交叉學科。 如果一種物質存在兩個不同的物理或者化學狀態, 並且存在某種機制使得這兩種狀態互相轉換, 則有相變現象發生, 這兩種不同狀態的交界面通常被稱為相變層(phase transition layer)。 渦旋(vortex)是自然界中的普遍現象，它可以發生在各種尺度和各種介質中：有大尺度的渦旋星系、氣流渦旋、洋流、還有微觀尺度的超流渦旋、超導體中電子庫柏對運動所形成的電流渦旋和宇宙弦等等。 凝聚現象(concentration phenomena)在純粹數學和套用數學中都有很大的套用；在純粹數學中，幾何里的預定曲率及預定曲率的奇異解分析很大程度上依賴於對爆破(blow up)解的研究；在套用數學中, 很多生物數學中的反應-擴散方程(Gierer-Meinhardt 系統, Gray-Scott 模型, Brusselator 等)會產生穩定的尖峰解(spike)。 本項目主要研究一些具有物理背景和幾何來源的非線性橢圓型偏微分方程，包括Allen-Cahn方程，Gross-Pitaevskii方程，Landau-Lifshitz方程，奇異攝動問題；主要是用偏微分方程領域的技術來刻畫這些方程所蘊含的具有複雜幾何結構的相變層現象, 渦旋現象和凝聚現象, 以及它們內部的作用機理。本項目獲得一系列重要的研究成果：部分回答了A. Ambrosetti, A. Malchiodi and W-M. Ni於2003年在Indiana Univ. Math. J.上一篇文章提出的一個關於concentration現象的猜想；用約化方法成功刻畫螺旋線形狀的渦旋結構的幾何特徵（曲率、撓率）與渦旋行波速度之間的關係；在分數次方程方面也取得一些成果，為研究團隊今後研究分數次非線性問題的相變層(phase transition layer)現象, 渦旋（vortex）現象和凝聚（concentration）現象積累經驗，奠定非常重要的基礎。 主要論文發表在Trans. Amer. Math. Soc., J. Functional Analysis, J. Differential Equations等重要數學期刊上。
