外域上非線性波方程的能控性研究

《外域上非線性波方程的能控性研究》是依託華中科技大學，由張志飛擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：外域上非線性波方程的能控性研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張志飛
• 依託單位：華中科技大學

中文摘要

研究波方程的相關控制問題是當前國內外控制理論界十分活躍的研究課題。本項目擬研究外域上非線性波方程的邊界能控性以及系統能量在邊界反饋控制下的衰減速度等問題。外域上波方程的能控性研究是考察能否通過在外域的邊界上施加控制，使得系統狀態可以在有限時間內到達或者接近給定的目標狀態。外域是無界域，許多有界域問題的處理方法，例如常用的吸收低階項的緊性唯一性方法，還有研究能控性問題中經典的Carleman估計等都不再適用。本項目擬嘗試通過幾何分析的方法，給出一個黎曼度量來克服非線性主部帶來的困難，將外域非線性波方程視作非緊流形上的波方程，然後利用幾何上整體坐標框架下的計算技巧，結合方程本身的相關估計，得到系統能控性的結果。本課題將在一定程度上完善非線性無窮維系統的控制理論，促進其對非線性科學、工程控制器設計等領域的套用，具有重要的理論意義和套用價值。

結題摘要

本項目將幾何分析的方法與非線性波方程無界域問題的研究方法有機結合，以非線性雙曲方程在邊界控制下的系統能量衰減速度研究為主線，結合黎曼幾何框架下的法坐標的整體計算技巧，得到了一些有用的能量估計，討論了非線性雙曲方程的能控性和能量衰減問題，成果如下： (1) 在邊界控制下，研究無界區域上的非線性雙曲方程的能量衰減，討論解的存在性和系統穩定性。 (2) 討論了當控制施加在局部邊界時，控制區域大小和方程主部形式之間的關係。刻畫了方程主部形式反映出的系統的幾何特徵。 (3) 研究了雙曲型方程的相關問題：包括耦合的波和板方程在非線性速率控制下的能量衰減速度，在黎曼幾何的框架下，給出了恰當的反饋控制形式以及共同邊界的結構；還有薛丁格方程的電位係數識別問題等。