《變係數波方程及薛丁格方程的色散控制問題》是依託山西大學，由武潔瓊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：變係數波方程及薛丁格方程的色散控制問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：武潔瓊
- 依託單位：山西大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
波是自然界中最基本的物理現象之一。外域上波的色散理論又是波最基本的性質之一。本項目主要是用控制理論的思想及方法來研究外區域上具有變係數主部的波方程及薛丁格方程的色散現象，即邊界外域局部能控性和邊界反饋局部能量衰減問題。主要研究工具是黎曼幾何方法：將黎曼幾何方法與偏微分方程控制問題的傳統方法相結合，克服變係數主部帶來的困難，對外域問題建立相應的局部能量觀測性不等式和局部能量衰減估計。
結題摘要
波是自然界中最基本的物理現象之一。波方程是偏微分方程及其控制的主要研究對象之一。本項目主要研究了以下幾個問題：(1)具非線性邊界阻尼和非線性內部源項的非線性波方程整體解和爆破解的存在性問題；(2)變係數粘性波、帶聲學邊界條件的變係數波方程和帶時滯聲學邊界條件的變係數波方程的適定性和反饋鎮定問題；(3)在緊區域外部空間振動的變係數波方程的反饋鎮定。(4)變係數波的柯西問題的高階能量衰減性質；(5)一維波動方程的自抗擾控制和跟蹤微分器設計。對於問題(1)，研究了非線性邊界阻尼和非線性源項之間的相互作用及他們對方程解的作用效果，得到了整體解和爆破解存在的一些充分條件。對問題(2)和問題(3)，藉助於正定的變係數矩陣建立了新的度量，利用新的乘子不等式，在一些可驗證的幾何條件下，分別研究了聲學邊界對波的反射、吸附和穩定作用，帶時滯聲學邊界條件的變係數波的能量衰減和粘性波的能量衰減。利用黎曼幾何方法研究了外域波動系統在局部阻尼作用下的反饋鎮定，在一些可以驗證的幾何條件下，獲得了能量衰減估計；對問題(4)，我們定義了波動方程的初值問題的時間加權的高階能量，得到了時間加權能量的衰減估計；對問題(5)，通過對不穩定波動方程施加加權移動平均的擴展狀態觀測器,使得波動方程穩定。我們將自抗擾控制的思想與偏微分方程控制理論相結合，得到了新的結果。在課題組成員的共同努力下，研究達到了預定目標。項目組在重要數學期刊上發表論文14篇，其中SCI二區論文10篇，SCI四區論文3篇，國家核心期刊論文1篇。項目組的研究工作在審稿過程中得到了審稿人的一致認可。項目的研究豐富了偏微分方程及分布參數系統的控制理論，為分布參數系統的研究提供了新的方法。同時，本項目的研究也激發了山西大學數學科學院一批青年教師和博士生對分布參數系統理論和偏微分方程控制理論的興趣。
