《無界域上波方程的能控性與反問題》是依託華中科技大學，由張志飛擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：無界域上波方程的能控性與反問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張志飛
- 依託單位：華中科技大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
波方程的控制問題和反問題是當前國內外十分活躍的研究課題。本項目擬研究無界域上波方程的邊界能控性、系統物理能量的衰減以及方程係數識別等反問題。能控性研究是討論系統狀態能否在有限時間內到達目標狀態；反問題研究是考察方程的係數對系統邊界觀測量依賴的唯一性和穩定性。對於無界域上的相關控制問題和反問題，許多有界域問題的處理方法，例如常用的吸收低階項的緊性唯一性方法，還有研究能控性問題和反問題中經典的Carleman估計等都不再適用。本項目擬嘗試通過幾何分析的方法，將無界域上非線性波方程置於黎曼流形的框架下，利用幾何上整體坐標下的計算技巧，建立適合於無界區域上波方程的改進Carleman型估計。基於新的Carleman型估計，我們將嘗試結合對偶原理得到方程的能控性；結合波方程最優正則性結果，得到無界域上波方程反問題的唯一性和穩定性。本課題將在一定程度完善無界域上無窮維系統的控制理論以及反問題研究。
結題摘要
本項目的研究緊緊圍繞無界域上波方程的控制問題展開，主要的研究成果撰寫成13篇學術論文發表在Nonlinear Analysis: Real World Applications、System Control Letters以及Journal of Inverse and Ill-posed Problem等雜誌上。最具代表性的研究成果為：（1）本項目通過幾何分析的方法，將無界域上非線性波方程視作非緊流形上的波方程，利用幾何上整體坐標框架下的計算技巧，結合方程本身的相關估計，探討了系統能量衰減速度等問題。（2）探討了黎曼流形上薛丁格方程的反問題研究，給出了方程的電子係數對系統邊界觀測量依賴的唯一性和穩定性，我們僅僅通過一個邊界觀測量，以及對方程初值和邊界條件提出適當的正則性要求，得到方程反問題的唯一性和穩定性。（3）利用幾何方法討論了黎曼流形上耦合的波板方程的指數穩定性和能控性，以及kdv方程的可積性等相關問題。本課題在一定程度上豐富了非線性無窮維系統的控制理論以及反問題研究。有1名博士後，3名博士生，7名碩士生參與了課題研究。
