橢圓方程源項辨識問題的正則化理論及數值算法

《橢圓方程源項辨識問題的正則化理論及數值算法》是依託中國礦業大學，由劉記川擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：橢圓方程源項辨識問題的正則化理論及數值算法
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉記川
• 依託單位：中國礦業大學

項目摘要

本項目主要研究橢圓方程源項辨識問題的正則化理論及數值算法。以Poisson方程和Helmholtz方程作為數學模型，分別研究了在均勻介質和非均勻介質中的源項辨識問題。這兩類問題在生物醫學、地球物理學和材料科學等領域有著廣泛的套用價值。本項目的目標是根據邊界上測量數據反演物體內部子區域個數、位置、大小、強度和形狀。橢圓方程源項辨識問題是非線性的且嚴重不適定的，即當測量數據有很微小的擾動時重構的結果就會發生巨大的偏差，因此在求解問題的過程中要採用正則化方法。根據問題的唯一性和穩定性，結合正則化方法和正則化參數，得到相應的誤差估計，進而基於區域導數，提出一些即快捷又高效的數值算法。這些數值算法對誤差數據有很好的穩定性，需要很少的先驗信息，收斂的速度快，以及處理特殊形狀的子區域有很大的靈活性。希望本項目研究為臨床上的術前診斷、評估和術後恢復提供科學的決策依據。

結題摘要

本項目研究的問題是橢圓方程源項辨識問題，是反問題研究的熱點問題。本項目涉及到自然科學、社會科學和工程技術等眾多領域，研究的背景來源於如何確定癲癇病發病的位置、大小和形狀。本項目研究了Poisson方程和Helmholtz方程的源項辨識問題的正則化理論和數值算法，根據可接觸邊界的測量數據重構目標的位置、大小和形狀。本項目研究的主要內容包括正問題和反問題、適定問題和不適定問題、正則化方法和正則化參數的選取方法、問題的唯一性和穩定性、疊代算法和非疊代算法、算法的收斂性等。重要結果是：(1)對薛丁格方程中的參數辨識問題進行了一定的研究，並提出了重構參數的數值算法；(2)對Poisson方程的源項辨識問題和邊界辨識問題進行了研究，提出了重構位置和形狀的數值算法；(3)對Helmholtz方程的源項辨識問題和參數辨識問題進行了相應的研究，並提出了可行的數值算法重構源項和參數的位置和形狀；(4)對修正的Helmholtz方程的邊界辨識問題進行了研究，並提出了相應的算法重構邊界的形狀。本項目的數值算法採用的是疊代算法，比如：改進的阻尼最小二乘算法、信賴域方法和Levenberg-Marquardt算法等。本項目的科學意義在於準確的確定了癲癇病發病的位置和形狀就可以為癲癇病外科手術提供一定的術前預判。