泊松方程的源辨識問題

《泊松方程的源辨識問題》是依託中國礦業大學，由劉記川擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：泊松方程的源辨識問題
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：劉記川
• 依託單位：中國礦業大學

項目摘要

本項目研究的是二維和三維空間上泊松方程源項辨識問題，即利用測量的柯西數據來確定隱藏在物體內部源項的個數、 位置、 大小和形狀。 這類問題在石油和天然氣的勘探等領域有很重要的套用價值。 源項辨識問題是嚴重的非線性不適定問題， 即當測量數據有很微小的擾動時必將導致重構源的位置和形狀發生很大的偏差， 因此在實際問題的套用中要考慮運用正則化方法來消除問題的不適定性。 我們採用的方法是將原問題轉化為非線性的變分問題，然後利用疊代算法和正則化技術來求問題的近似解。 本項目中我們主要考慮是均勻介質中的源項辨識問題，側重點是研究即快捷又高效的數值算法來恢復二維空間上隱藏在物體內部的源項的個數、 位置、 大小和形狀。 同時對於比較困難的三維源辨識問題做一些探索性的研究。希望我們的研究對實際問題的解決提供有用的參考價值。

結題摘要

源項辨識問題在生物醫學和油氣資源勘探等方面都有很廣泛的套用，比如：探測人腦中癲癇病的位置和大小以及探測地表下的岩層結構中油氣資源的位置和儲量等。 本項目對二維和三維空間上，均勻介質中泊松方程的源項辨識問題進行了深入的研究。 本項目對源項辨識問題進行了理論分析的研究和數值算法的研究，分別研究了二維空間上的源項的個數、位置、大小和形狀的重構問題和三維空間上源項的個數、位置和大小的重構問題。源項辨識問題是非線性的不適定問題，因此在求解問題的過程中要採用正則化的方法。本項目把原問題轉化為一個最佳化問題，根據二分法和序列不一致原理方法確定正則化參數，並且提出了基於邊界參數化的形狀導數，採用疊代算法求解源項識別問題。本項目中採用了兩種疊代算法，即最速下降方法和信賴域方法，重構二維和三維空間上的源項。本項目驗證了這兩種算法是穩定的和收斂的。對於不同的數值例子，這兩種疊代算法可以得到比較精確的數值解。本項目的研究對生物醫學和油氣資源的探測套用中起著很重要的指導作用。