空間域反常擴散中源項識別問題的正則化理論及算法

《空間域反常擴散中源項識別問題的正則化理論及算法》是依託湖南大學，由鄭光輝擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：空間域反常擴散中源項識別問題的正則化理論及算法
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：鄭光輝
• 依託單位：湖南大學

中文摘要

本項目主要考慮空間域反常擴散中源項識別問題的正則化理論和數值算法。我們以含有分數階Laplace運算元的空間分數階對流擴散方程（SFADE）作為數學模型來描述溶質在空間域上的反常擴散。實驗表明，它比起經典的對流擴散方程（ADE）能更好地刻畫溶質反常擴散的超彌散和拖尾現象，特別是在地下水污染方面的套用引起廣泛關注。空間域反常擴散中的源項識別問題具有很強的不適定性，再加上分數階Laplace運算元本身所固有的非局部性和高奇異性，使得問題極具困難性和挑戰性。但注意到分數階Laplace運算元的Fourier分析理論較為完善，所以我們首先利用Fourier分析的相關工具建立條件穩定性。其次運用卷積正則化方法和Morozov不一致原理導出後驗誤差估計。最後，我們構造基於快速Fourier變換（FFT）的快速算法，實現對污染源及時快捷的反演，為環境的監測、診斷和保護提供科學的依據。

結題摘要

擴散是一種常見的物理現象，它廣泛地出現在物理、化學、生物、工程、農學、水文、地質、醫學以及環境科學等領域。經典的擴散現象服從Fick律，可以用標準的擴散方程很好地描述。然而，當擴散物質呈現出隨空間的長程相關性和隨時間的歷史記憶性時，標準的Fick律已經不再適用，這時的擴散現象稱為非正常擴散，服從所謂的分數階Fick 律，這樣將導出分數階擴散方程。本項目主要研究空間域反常擴散中源項識別問題以及相關反問題（如Backward問題、Cauchy問題等）的正則化理論和算法。由於反問題的不適定性以及分數階導運算元所引起的非局部性和奇異性，項目組主要從以下兩方面來構造適當的正則化算法克服這些困難：一方面，基於帶卷積微分方程近似的直接正則化；另一方面，基於帶卷積罰項的變分正則化方法。通過數值模擬發現上述正則化方法給出的正則化解確實能很好地近似反演目標，而這些反演目標通常是污染源的強度和位置、污染物的初始濃度和不可達區域的濃度，這樣就為環境的監測、診斷和保護提供了科學的依據。