《時間分數階擴散方程源項識別問題研究》是依託蘭州大學，由張正強擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：時間分數階擴散方程源項識別問題研究
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：張正強
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近二十年來隨著分數階擴散方程在描述分形介質和複雜多相介質的反常擴散現象中的廣泛套用，相關的正問題已得到較為系統的研究。然而有時候因為部分邊界上的數據不能直接得到或因為初值、源項、擴散係數未知，我們需要其他一些測量數據來求解這些未知量，這就產生了分數階擴散方程反問題。本項目將對兩類分數階擴散方程反源問題展開研究。一是研究用非局部的測量數據同時反演出現在源項中的分別依賴於空間和時間變數的源項。二是研究多項時間分數階擴散方程中的源項識別問題。通過對問題不適定性的分析和條件穩定性的建立, 有針對性地提出和套用一些正則化方法求解上述問題，並對各種算例進行數值模擬，找到一些可以在實際問題中套用的高效穩定的算法。
結題摘要
分數階微分方程具有非局部的特點，因此可以更加準確的描述具有歷史記憶性和全空間域相關性的複雜物理和力學過程。隨著分數階微分方程正問題相關理論的不斷發展和完善，近年來越來越多的學者開始關注分數階擴散方程相關反問題的理論和計算方法。由於分數階偏微分方程本質上是微分積分方程，這給相關反問題的研究帶來了新的困難。本項目主要研究了：利用部分邊界上的測量數據反演多項時間分數階擴散方程中的源項問題；利用部分邊界或者內部部分觀測點處的測量數據同時反演分數階擴散（波）方程中的多個未知函式。我們針對不同的問題給出了唯一性、穩定性結果，並構造了穩定有效的反演算法。在完成上述工作的同時，我們還進行了項目以外的其他相關研究，主要有：針對一般的Banach空間中非靜態的疊代Tikhonov正則化方法和疊代的高斯牛頓方法給出了一種啟發式的參數選取方法，並在一定的假設條件下，給出了收斂性結果。總體來說，課題組採用了理論分析和數值模擬相結合的方法進行了研究，取得了比較理想的研究結果，完成了課題的研究任務，部分結果已發表在Inverse Problems等期刊上。
