介質熱傳導反問題的正則化方法及數值解

《介質熱傳導反問題的正則化方法及數值解》是依託東南大學，由閆亮擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：介質熱傳導反問題的正則化方法及數值解
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：閆亮
• 依託單位：東南大學

中文摘要

由於工業生產的推動，介質熱傳導問題受到了廣泛關注。實際熱傳導問題所能提供的數據往往是不完全的，帶有很大的隨機誤差，同時相應問題還具有非線性以及嚴重不適定性，因此經典的數值方法處理這些問題將變得十分複雜，穩定性難以保證。對這類非線性不適定模型進行數學理論分析，結合有效的正則化方法提出和發展新的高效穩定算法是目前熱傳導反問題及其套用中迫切需要解決的問題。本項目將圍繞鋼鐵生產中的介質熱傳導反問題開展兩個方面的研究。一是研究處理介質熱傳導反問題的無格線方法，發展該方法在處理介質熱傳導反問題尤其是關於二相界面重建以及高維熱傳導參數識別問題中的有效套用，擬得到一些突破性成果。二是研究處理介質熱傳導問題參數識別的貝葉斯推斷方法，旨在貝葉斯框架下建立相應的理論結果以及數值算法的快速實現，進一步提高該方法的有效性和實用性。通過這些問題的研究，給出解決介質熱傳導反問題的有效數值計算方法及理論分析。

結題摘要

由於工業生產的推動，介質熱傳導問題受到了廣泛關注。實際熱傳導問題所能提供的數據往往是不完全的，帶有很大的隨機誤差，同時相應問題還具有嚴重的不適定性，因此經典的數值方法處理這些問題將變得十分複雜，穩定性難以保證。對這類反問題模型進行數學理論分析，結合有效的正則化方法提出和發展新的高效穩定算法是目前熱傳導反問題及其套用中迫切需要解決的問題。本項目圍繞介質熱傳導反問題開展三個方面的研究，一是利用有效的無格線方法結合確定性正則化方法討論分數階微分方程正問題及其反問題的求解方法；二是基於替代模型的快速貝葉斯方法的研究，特別是具體套用在非線性係數識別問題中的研究；三是結合研究過程中的新發現，開展新型隨機計算方法研究。圍繞上述三個問題的研究，本項目獲得了以下重要成果: (1)構造了求解二維分數階微分方程正問題和反問題的Kansa型基本解方法，數值結果表明該方法結合正則化技巧可以得到高精度的數值逼近解，尤其對非規則區域仍然可以得到高精度的數值逼近解；(2)研究了求解通過非局部邊界條件來反演未知邊界數據的逼近特解方法，分析了無格線方法中自由參數對數值結果的影響，提出了基於LOOCV的選取自由參數的方法，提高了無格線方法在求解介質熱傳導反問題中的套用；(3)對於時間分數階微分方程邊界數據重構反問題，證明了反問題解的唯一性，提出一種基於數據光滑化的正則化方法，建立了相應的收斂性結果;(4) 對具有非局部積分邊界的分數階微分方程邊界源項識別問題，建立了該反問題的唯一性結果，基於數據光滑化的思想，提出一種新的正則化方法，構造相應的正則化解，給出收斂性分析;(5)發展了一種基於隨機替代模型的快速貝葉斯方法，證明了基於替代模型所得到的近似解和真實解之間的誤差分析，設計了基於L1最佳化的隨機配置方法來求解隨機替代模型，提高了方法的有效性和實用性;(6)由於課題的自然延伸，我們還發展了基於L1-L2最佳化的新型隨機配置方法，給出利用該方法求解稀疏重構問題時測量矩陣所需要滿足的RIP條件，並將該方法用於不確定量化中。在本項目的支持下，已發表6篇SCI論文，參加了3次國際會議，主辦了一次國內學術研討會，圓滿的完成了本項目預計完成的研究任務。