《介質不連續性的反演方法及其數值實現》是依託東南大學，由王海兵擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：介質不連續性的反演方法及其數值實現
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王海兵
- 依託單位：東南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
利用外部測量數據探測介質的內部結構是一類重要的數學物理反問題，當介質內部具有某種不連續性時，這類問題數學上變得特別困難。波場逆散射和熱傳導是重構介質不連續性(如異物、空腔和裂縫等)的兩種被廣泛採用的檢測模型，數學上分別對應於橢圓型和拋物型偏微分方程反問題。本項目研究兩個方面的內容：其一，以阻尼型柱狀散射體的斜入射電磁波逆散射為模型，在探測方法的框架下，利用斜導數邊值問題Green函式的奇異性和逐點估計，研究由單一的電場或磁場測量數據重構散射體幾何形狀及邊界阻尼係數的正則化方法及其數值實現，並分析入射角度及阻尼係數對邊界重建精度的影響；其二，以介質熱傳導為模型，研究利用溫度場的邊界測量數據重建介質內部未知異物幾何形狀的線性抽樣方法，核心是運用抽象Cauchy問題的可解性理論，建立拋物方程內透射問題解的存在唯一性。本項目的研究將為其它基於偏微分方程的介質成像問題提供新的數學方法。
結題摘要
利用外部測量數據探測介質的內部結構是一類重要的數學物理反問題，波場逆散射和熱傳導是兩種被廣泛採用的檢測模型，數學上分別對應於橢圓型和拋物型偏微分方程反問題。本項目主要研究以下幾個方面的內容：一、對帶阻尼邊界條件的無限長柱狀散射體的斜入射電磁波逆散射問題，建立了僅由電場的遠場數據重建散射體幾何形狀的數值方法，給出了嚴格的數學證明，並進行了數值實驗，數值結果證實了算法的可行性和有效性；二、提出了由邊界溫度分布重建介質內部空腔或異物的數值方法，分析了算法的收斂性，並對二維情形給出了詳細的數值實現方案，數值結果表明算法具有很好的精度和穩定性；三、對帶斜導數邊界條件的Helmholtz邊值問題描述的潮汐波散射，證明了正散射問題的適定性，格林函式的對稱性以及散射數據的互易原理；而對相應的逆散射問題，證明了由遠場數據重建散射體的唯一性，並建立了穩定的數值方法，數值結果進一步驗證了算法的有效性；四、對一類分數階導數描述的積分微分方程，利用不動點理論，建立了由積分型測量數據同時反演方程中的核函式和源項的全局唯一性和存在性。 圍繞以上研究成果，項目組已發表8篇標註基金號的SCI論文，其中2篇發表於《SIAM J. Appl. Math.》，3篇發表於《Inverse Problems》，並有一篇發表於《Inverse Problems》的文章被該雜誌評選為“年度亮點”（Highlight）。項目研究期間，主辦了2次反問題學術會議，參加國內外學術會議並作報告十餘次，並邀請了幾位國際反問題研究專家來華交流與合作。
