分數階擴散方程中逆問題的正則化方法

《分數階擴散方程中逆問題的正則化方法》是依託電子科技大學,由鄧志亮擔任醒目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：分數階擴散方程中逆問題的正則化方法
• 依託單位：電子科技大學
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：鄧志亮

項目摘要

本項目研究分數階擴散方程中的反問題的幾種正則化方法。分數階擴散方程主要描述不規則擴散過程，主要套用於如下幾種情形：具有長時暫時性記憶的平衡系統的張弛（例如聚合物鏈和細胞膜），無序系統中的不規則傳輸，分形中的擴散以及蛋白質摺疊中的非Markov動力過程的刻畫等等。這些問題反映了與物理化學有關的多種複雜現象，在其它學科的研究中和實際工程問題中都是非常重要和亟待解決的。在理論上我們要對該類問題建立多種有效的正則化方法，以恢復解的穩定性，同時建立誤差估計並進行最優性分析。在計算方面我們將在正則化理論的基礎上構造穩定可行和有特色的算法並進行必要的數值試驗。由於分數階擴散方程比標準擴散方程有著更大的難度，在計算上也有更大的計算量，尤其在反問題方面的研究無論理論還是計算都很滯後。因此本項目的研究將會促進分數階反問題及其相關領域數學理論的發展，同時也有望為解決有關實際問題提供理論支持。

結題摘要

本項目研究一類分數階擴散方程中的反問題的正則化方法。分數階微積分已逐漸被證實比整數階微積分更適於描述一些物理化學現象，例如無序擴散現象。分數階擴散方程中的反問題目前是國際上研究的熱點與難點，仍舊有許多待解決的問題。我們針對反向擴散問題、逆熱傳導問題、源項識別問題給出一些正則化方法。對於反向擴散問題和源項識別問題，基於Green函式，我們給出基於再生核Hilbert空間的離散Tikhonov正則化方法，並用數值例子驗證了方法的有效性。對於逆熱傳導問題，利用Fourier變換技術，基於Dirichlet核，我們給出了磨光化方法，數值結果表明我們的方法是有效的。