《分數階發展方程中的若干問題》是依託四川大學，由李淼擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：分數階發展方程中的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李淼
- 依託單位：四川大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目計畫將運算元半群理論中的一些方法與分數次演算自身的特點相結合，藉以研究分數階發展方程中的幾個核心問題。我們將主要研究以下幾方面問題：運算元分數冪的定義域特徵，特別是那些可以生成某種分數次預解運算元族但不能生成運算元半群的偏微分運算元分數冪的定義域；UMD空間上分數次預解運算元族的平方根分解問題；基於Mittag-Leffler函式特性的相應於分數次預解運算元族的代數同態；分數階發展方程關於空間和時間的離散化逼近；不適定分數階發展方程解的正則化方法；分數階微分方程和隨機過程的關係。
結題摘要
在過去的幾十年中分數次演算理論因其在數值分析、物理和工程中的廣泛套用得以迅速發展和壯大起來。其中的一個重要研究方向是分數階發展方程。本項目旨在研究分數階發展方程中的若干核心問題。利用分數次預解運算元族和Komatsu型積分表示，我們對Banach空間上非負運算元、C概扇形運算元、C概非負運算元的分數冪及其定義域進行了系統的研究。我們得到了分數次預解運算元族的一個新的代數方程，從而可證明分數次預解運算元族在階數不為1時均不能指數衰減。我們研究了分數次預解運算元族關於時間和空間的離散逼近理論，並給出了不同的差分格式。我們證明了分數階發展方程解在連續函式空間的極大正則性和相應的分數次預解運算元族具半有界變差之間的等價關係。我們研究了Banach空間上一類抽象Cauchy問題以及Hilbert空間上一類隨機抽象Cauchy問題的mild解的正則性。我們引入並系統研究了相應於抽象多項時間分數階發展方程的適定性一類新的解運算元族；通過引入一類新的Bernstein函式和構造相應的從屬過程以及逆從屬過程，我們給出了抽象多項時間分數階發展方程的解在隨機過程中的解釋。我們給出了關於積分分數次預解運算元族的最優衰減估計，並研究了積分分數次預解運算元族的生成元之逆的生成問題。
