關於奇性運算元系統與分數階發展方程Cauchy問題的研究

《關於奇性運算元系統與分數階發展方程Cauchy問題的研究》是依託南昌大學，由王榮年擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：關於奇性運算元系統與分數階發展方程Cauchy問題的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：王榮年
• 依託單位：南昌大學

項目摘要

本項目主要研究結合了奇性增長半群和泛函積分的奇性運算元系統及相應分數階抽象發展方程的Cauchy問題，這裡方程線性部分的運算元是一個幾乎扇形運算元，它生成一個奇性增長半群。許多具有強烈套用背景的實際問題的數學模型都是一些分數階發展方程，如在材料物理中，這類方程很好地刻畫了強滲透材料的奇異擴散，因此對分數階發展方程的研究具有重要的現實意義；另外一方面，在研究拋物型發展方程的時候，通常假設線性部分的運算元是一個扇形運算元，然而，近年來的一些科學研究發現：一些偏微分運算元在一些特殊區域或者在一些正則的空間並不是扇形運算元，它們的預解運算元在一個扇形內不滿足扇形運算元定義中指數是-1的估計，而滿足指數是-1到0的估計，這樣的運算元稱之為幾乎扇形運算元，近年來這類運算元及相應發展方程的研究引起了國際上一大批數學家的關注。綜上，我們選擇該項目的研究不僅具有前沿性和重要的理論價值，而且對一些實際問題具有套用前景。

結題摘要

許多具有強烈套用背景的實際問題的數學模型都是一些非線性發展方程或包含（含分數階非線性發展方程或包含），如在材料物理中，分數階發展方程很好地刻畫了強滲透材料的奇異擴散；發展包含在許多物理現象中有重要的套用背景，如在材料物理中，非線性發展包含被用於刻畫具有乾摩擦、控制熱轉移等混合系統的運作機理；從相關文獻亦知，較發展方程，發展包含的研究更複雜並且在一些問題的處理上與前者有本質的差異。因此對非線性發展方程或包含（含分數階非線性發展方程或包含）的研究具有重要的理論價值和現實意義。本項目考慮了幾類具有分數階導數的非線性發展方程Cauchy問題的適定性問題，特別對既具有幾乎扇形運算元又具有分數階導數的發展方程Cauchy問題建立了常數變易公式並在此基礎上得到了溫性解和古典解的存在唯一性；對幾類非線性發展包含（含非自治情形）解集的拓撲結構和整體解進行了研究，特別對一類完全非線性的時滯發展包含（主部是非線性多值的無界運算元-m-耗散運算元），我們在有界區間討論了 C^0-解的存在性和解集的R_δ-結構，然後藉助逆極限方法在無界區間上獲得了解集的 R_δ-結構。最後，利用解集的拓撲刻畫證明了該發展包含在非局部初始條件下整體解的存在性；對一類分數階非線性發展方程給出了適當解的定義和整體解的存在性結果；對Banach空間上帶有脈衝條件和非局部條件的奇性半線性泛函積分方程，給出了溫性解存在性的充分條件；研究了半線性分數階時滯發展方程的控制問題，在適宜的條件下，討論了解集的拓撲結構（緊性和R_δ-性質），然後，利用以上拓撲結構的結果證明了在非線性擾動下控制問題可達集的不變性。