《基於貝葉斯觀點的分數階擴散方程反問題研究》是依託蘭州大學，由張遠祥擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：基於貝葉斯觀點的分數階擴散方程反問題研究
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：張遠祥
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目旨在研究貝葉斯框架下分數階擴散方程相關反問題的求解。我們的研究內容與目標是：（1）針對分數階擴散方程反問題的具體特徵，利用正問題的正則性估計，從理論上分析條件後驗機率分布的適定性和相容性；（2）基於貝葉斯反演中條件後驗機率分布的理論分析，利用近年來發展的各種不確定性量化方法，設計出快速求解分數階擴散方程反問題的數值算法，最後利用若干數值例子加以驗證。本項目的研究結果將提供一個探索分數階擴散方程反問題的新視角，對反常擴散、流變學以及粘彈性力學等眾多科學技術領域的發展具有重要的理論意義。
結題摘要
分數階擴散方程反問題是近幾年來反問題領域中的新問題，該類問題在反常擴散、流變學、粘彈性力學、生物工程和生物醫學、圖像和信號處理等眾多科學技術領域具有廣泛的套用。由於分數階擴散方程反問題固有的非局部性特點給理論分析與數值計算帶來了新的困難，正因為如此，近幾年來該領域吸引了許多著名數學家與實際工作者從事研究。關於分數階擴散方程反問題的現有工作主要是在確定性框架下開展研究，側重點是對誤差的最壞情形進行分析，得到的是關於未知量的單點估計或是關於未知量單點估計的定性分析。由於分數階擴散方程與機率論和隨機過程有著密切的聯繫，研究此類問題的一個自然的方式是從貝葉斯的觀點來進行探索。項目負責人在與閆亮和賈駿雄教授的合作下，利用貝葉斯方法同時反演了一個時空分數階擴散方程的時間導數階數、空間導數階數和源函式。藉助於函式逼近理論和相關正問題的正則性估計，我們證明了所考慮貝葉斯反問題的良定性和穩定性。在此基礎上，利用疊代正則化集合卡爾曼濾波方法給出了未知量的有效數值估計。該工作得到了國際同行的高度認可，相關結果發表於反問題領域的頂級雜誌Inverse Problems上。在完成上述主要研究工作的同時，我們還進行了項目以外的其它相關研究，主要有：分析了基於隨機替代模型的貝葉斯反問題的收斂性；討論了一般後驗截斷正則化方法並成功套用於氦生成擴散方程輻射源識別問題。這兩個工作也得到了國內外同行的高度認可，分別發表於雜誌Inverse Problems 和 Applied Mathematical Modelling上。
