格林函式及在非線性發展方程中的套用

《格林函式及在非線性發展方程中的套用》是依託上海交通大學，由王維克擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：格林函式及在非線性發展方程中的套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：王維克
• 依託單位：上海交通大學

項目摘要

本項目主要套用格林函式方法，結合微局部分析、調和分析等現代分析工具與能量方法等偏微分方程的研究工具對帶耗散結構的非線性發展方程（主要是以流體力學和空氣動力學中的基礎方程為例）對以下三方面問題進行研究：1、基本波（如擴散波、激波、稀疏波）的穩定性問題，及擾動的大時間狀態的逐點估計；2、高維情形下初邊值問題，證明解的存在性並給出各類邊界效應和解的精細結構；3、大擾動問題，著重考慮單個方程情形（包括一些有物理背景的擬微分方程-含分數階導數運算元方程），證明解的存在性並獲得解的大時間狀態，之後將該方法推廣至具有特殊結構的方程組。這些都是物理界與數學界所關心的重要問題。另外，本項目所研究的問題從理論上說涉及到多空間維數、邊值問題、大擾動問題，是公認困難的問題，現有結果不多，缺乏系統的研究方法。本項目的研究成果有望有效地推動偏微分方程理論的發展，有重要的理論價值。

結題摘要

本項目已取得了一些重要進展，主要研究結果如下： 1.非線性方程（組）小擾動解的逐點估計 考慮了帶鬆弛項的單個守恆律方程、非線性帶阻尼的波動方程、非線性帶粘性的波動方程和非等熵Navier-Stokes-Poisson方程的Cauchy問題，建立了其小擾動解的逐點估計。我們還有一篇系統介紹上述工作的文章。該文系統地總結了Green函式方法在建立帶耗散結構的非線性發展方程Cauchy問題解的逐點估計中的套用。 2.非線性發展方程大擾動初值問題的整體解及大時間狀態估計 我們研究了大擾動解的整體存在性及大時間估計。首先研究了一般的Benjamin–Bona–Mahony–Burgers方程大解的整體存在性及相應的解的大時間狀態估計。對帶粘性項的單個守恆律研究其在粘性激波附近的大擾動解的逐點估計。在一定的初始條件下，我們證明了解以指數速度衰減。我們還考慮了一類輻射流模型，發現雖然其滿足S-K條件，但對一般的初值，其大擾動解會爆破。並且，在加上部分小性後，得到了解的整體存在性。對於分數階的Burgers方程，在周期情形下得到了大解的指數衰減估計。對於帶分數階耗散的守恆律方程，得到了解的最佳衰減估計。 3.粘性守恆律的初邊值問題 我們考慮了半平面上帶人工粘性守恆律方程組的粘性激波，首次給出了方程組初邊值問題下粘性激波穩定性的結果。我們套用TC格式處理初邊值問題。我們結合兩種Green函式（常狀態對應的初邊值問題的Green函式和粘性激波對應的初值問題的Green函式），對邊界導數給出了一個預先估計，並給出了初邊值問題耗散波的定義，從而獲得了解的逐點估計和非線性穩定性，對於耗散機制、邊界和粘性激波這三種不同機制的相互作用有了較深刻的理解。 4. 非線性退化拋物方程整體解的適定性 考慮了帶退化擴散項的守恆律方程的初邊值問題，得到了經典解的整體存在性和指數衰減。另外，為研究退化粘性項的擴散機制，提出了一個方程的修改形式，並得到了這一修改形式Cauchy問題經典解的整體存在性和衰減估計。 5. 長短波方程以及分數階偏微分方程解的存在性 我們系統地考慮了自治和非自治(1+1)維長短波方程和(2+1)維長短波方程的動力學行為。此外，我們還考慮了若干分數階偏微分方程解的存在性和隨機吸引子。