《三角單元譜方法和運算元分裂Runge-Kutta方法》是依託上海大學，由馬和平擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：三角單元譜方法和運算元分裂Runge-Kutta方法
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：馬和平
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
譜方法與差分法和有限元法一起成為數值求解偏微分方程的重要方法，在科學和工程技術的眾多領域得到日益廣泛的套用。本課題致力於克服目前譜方法在套用於實際問題計算中存在的一些困難和缺點：1、對於複雜區域上的問題，發展三角單元的譜元法，採用新的區域映照，避免原有方法中從線（或面）到點的映照奇性，結合多區域方法及其高階元和各向異性後驗誤差估計等技術，形成能有效地套用於一般區域問題的譜元法；2、發展高精度時間離散方法，基於運算元分裂思想，按不同剛性設計半隱Runge-Kutta型格式，使便於實施且穩定性好，結合交錯時間步長技術，形成與空間方向譜逼近匹配更好的時間離散；3、對於具變係數高階導數項問題，設計低次多項式預條件算法，結合交替方向技術，有效地實現高維問題計算。從而使譜方法能更好地適用於實際問題，並建立相應的數值分析理論，較大地推進譜方法的發展和套用。
結題摘要
本項目圍繞偏微分方程譜方法在解決科學和工程領域中許多實際問題時存在的一些困難和局限開展研究，主要工作內容如下： 1、研究三角單元譜元法，採用新的區域映照，避免原有方法中從線（或面）到點的映照奇性，對於多邊形區域問題，發展了三角形單元和四邊形單元相結合的Legendre-Galerkin數值積分(GNI)譜元法。分析了三角單元多項式擬譜插值的誤差以及相關正交投影誤差，套用於多邊形區域非線性橢圓型方程和Stokes方程邊值問題、以及拋物方程的初邊值問題，更好適合複雜邊界。對於四邊形上變係數橢圓方程邊值問題，建立最小二乘Legendre-Galerkin Chebyshev配置方法，證明了強制性和穩定性，獲得最優誤差估計，並進一步研究了三角單元上變係數問題的Legendre-GNI最小二乘法及其數值分析。 2、發展了基於Runge-Kutta方法的高階半隱格式，對剛性較強的線性項採用隱格式改進穩定性，非線性項採用顯格式便於計算。構造了三階半隱格式，並將方法套用於求解若干非線性偏微分方程。建立了常微分方程的單步和多步Legendre-tau Chebyshev配置格式，利用正交性得到格式的簡潔形式，可藉助快速Legendre-Chebyshev變換計算，改進了原有相關方法的誤差估計階。 3、研究地下腔體內電磁場散射帶穿透邊界條件的Helmholtz方程邊值問題，給出顯式依賴於大波數的穩定性估計，改進了已有的結果。證明了逼近解的存在唯一性、及方法的穩定性和譜精度。發展了保持離散能量守恆的分裂Legendre譜方法和配置法，計算兩維Maxwell方程，將多維問題化為一維問題求解，提高了計算效率，證明了逼近的譜精度，並進一步推廣到多區域譜方法。 本項目的研究工作還包括有關最優控制問題多區域擬譜方法的自適應算法、Squircle區域問題的譜方法、雙曲方程的耗散譜元法、非線性反應擴散方程間斷Galerkin譜元法、隨機偏微分方程的多項式混沌展開譜方法、以及積分方程和分數階微分方程的譜方法的內容，這些工作有助於推進譜方法的發展和套用，更有效地求解各種實際問題。
