《分數階擴散方程反問題的計算方法及理論研究》是依託蘭州大學，由魏婷擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：分數階擴散方程反問題的計算方法及理論研究
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：魏婷
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將對一般有界區域上的時間分數階擴散方程的反問題展開系統和深入的研究，內容包括時間分數階擴散方程的反初值問題、源項辨識問題、非特徵柯西問題、Robin係數反演問題、擴散係數辨識問題等。分數階擴散方程在岩石工程中的滲流、地質勘探中的採油、核物質或污染物在地層中的遷移、醫學中藥物在高分子基質中的釋放等方面有廣泛的套用背景，其反問題的研究是一新興課題。本項目中，我們將對上述分數階擴散方程反問題的理論及計算方法做探索性研究，通過對問題不適定性的分析和條件穩定性的建立, 有針對性地提出和套用一些正則化方法如Tikhonov正則化、譜截斷方法、擬逆方法、擬邊值正則化方法、疊代正則化法等求解上述問題，在收斂性分析和數值實驗的基礎上找到合適的先驗和後驗正則化參數選取規則並進行收斂階分析，對各種算例進行數值模擬，找到可以實際套用的高精度、高效穩定的算法，為實際套用提供理論與方法上的基礎。
結題摘要
本項目對一般有界區域上的時間分數階擴散方程的反問題展開系統和深入的研究，內容包括時間分數階擴散方程的反初值問題、源項辨識問題、非特徵柯西問題、Robin係數反演問題、擴散係數辨識、零階項係數辨識問題等。分數階擴散方程在岩石工程中的滲流、地質勘探中的採油、核物質或污染物在地層中的遷移、醫學中藥物在高分子基質中的釋放等方面有廣泛的套用背景，其反問題的研究是一新興課題。本項目中，我們對上述分數階擴散方程反問題的唯一性理論及計算方法做了系統研究，通過對反問題的唯一性證明、問題不適定性的分析和條件穩定性的建立, 有針對性地提出和套用一些正則化方法如Tikhonov正則化、譜截斷方法、擬逆方法、擬邊值正則化方法、共軛梯度正則化法等求解上述問題，在收斂性分析和數值實驗的基礎上找到合適的先驗和後驗正則化參數選取規則並進行收斂階分析，對各種算例進行數值模擬。特別，針對分數階擴散方程反問題，我們系統研究了一般共軛梯度法，給出了合適的分部積分公式，在此基礎上導出了各種反問題的共軛問題，並得到了共軛梯度法的疊代算法，對時間分數階擴散方程的反初值問題、源項辨識問題（包括時間或空間源項問題）、Robin係數反演問題、擴散係數辨識、零階項係數辨識問題等作了數值模擬，驗證了算法的有效性。項目執行期間我們共發表了15篇SCI文章，其中一區3篇、二區9篇，還有10篇論文在投稿中。項目負責人在項目執行期間有4名博士研究生和8名碩士研究生順利畢業，目前項目負責人仍有在讀博士生3人，碩士生7人。四年期間，項目組成員出國（出境）訪問6人次，參加國際學術會議19人次，其中大會邀請報告3人次，參加國內學術會議和訪問27人次。另外，我們也邀請了國內外高水平的學者來訪15人次。課題組負責人於2016年當選為中國工業與套用數學學會常務理事。總之，項目進展比較順利，完成了項目預期目標，特別是在本基金的支持下，我們對分數階擴散方程反問題的研究內容有了更深入地了解，同時也將項目作了自然延伸, 對多項時間分數階擴散方程的反係數問題,如零階項係數、對流係數問題，給出了唯一性定理,並套用共軛梯度法或最佳擾動量方法進行了數值模擬；對分數階擴散波方程的反初值和源項辨識問題作了初步研究，這些成果在審稿中。自然延伸的研究內容為我們下一個項目的開展奠定了良好的基礎。
