《分數階微分方程的高精度數值方法和反常動力學行為》是依託蘭州大學，由鄧偉華擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：分數階微分方程的高精度數值方法和反常動力學行為
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：鄧偉華
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
經典牛頓力學和統計物理學在描述一些自然現象時受到挑戰，如湍流速度場的不規則起伏、複雜系統中的反常擴散、黏彈性材料的記憶性等。與此同時分數階微分運算元越來越多的被證明是描述中間過程和臨界現象的重要而有效的工具。本項目擬開展分數階微分方程的高精度數值方法研究，並以分數階微分方程為模型研究反常動力學。具體地說：（1）利用譜方法是整體方法（套用整個區域上的信息）及雅可比多項式的權與分數階積分運算元核的一致性並使用運算元分裂技術設計計算格式，實現計算分數階問題與經典問題在計算量上相當；（2）發揮間斷有限元法在做hp逼近的靈活性及方便處理複雜邊界條件的優勢，設計二維或三維不規則幾何區域上分數階微分方程的間斷有限元法，給出分數階運算元數值流選取的一般策略；（3）構造新穎的穩定的高精度有限差分格式（主要思想見正文）；（4）設計分數階時間導數的高精度離散格式；(5)套用動力系統的理論和數值模擬的手段研究反常動力學。
結題摘要
分數階微積分和分數階微分方程在經典的牛頓力學和統計物理學受到挑戰的一些領域裡逐漸煥發出強大的生命力。在複雜系統里，力學本構關係常常不再滿足標準的梯度律（如Darcy律、Fick擴散律、Fourier熱傳導律），因為大的動力系統總是趨於一個沒有特徵空間和時間尺度的臨界狀態，同時它具有長時間的記憶和（或）大範圍的空間相關性。具有非局部性質的分數階微分運算元可以簡潔、準確的描述這種長時間記憶性和大範圍的空間相關性，即，可有效刻畫冪律非局部性、冪律長時間記憶性和分形性質。本項目開展了分數階微分方程的高精度數值方法研究，並以分數階微分方程為模型深入研究了反常動力學行為。項目在執行的四年間按原計畫有序深入推進，圓滿完成預訂目標，同時為下一階段工作做了充分的預研工作。我們按原計畫完成了：（1）利用譜方法是整體方法（套用整個區域上的信息）及雅可比多項式的權與分數階積分運算元核的一致性並使用運算元分裂技術設計了計算格式，實現了計算分數階問題與經典問題在計算量上相當；（2）發揮了間斷有限元法在做hp逼近的靈活性及方便處理複雜邊界條件的優勢，設計了二維不規則幾何區域上分數階微分方程的間斷有限元法，給出了分數階運算元數值流選取上的一般策略；（3）構造了一系列新穎的穩定的高精度有限差分格式，實現了一階格式到高階格式的突破；（4）設計了分數階時間導數的高精度離散格式；(5)套用動力系統的理論和數值模擬的手段研究了反常動力學行為。
