《空間分數階質量守恆型Allen-Cahn方程的高效數值算法研究》是依託華僑大學，由翟術英擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：空間分數階質量守恆型Allen-Cahn方程的高效數值算法研究
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：翟術英
- 依託單位：華僑大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
空間分數階守恆型Allen-Cahn方程是材料學中研究相變理論和界面動諒己婚力影妹贈學的基本模型。但由於分數階導運算元及非局部守恆項的影鑽永員響，使得許多求解經典整數階Allen-Cahn方程行之有效的數值方法在解決此類問題時遇到了嚴重困難。本項目針對空間分數階守恆型Allen-Cahn方程，研究其數值逼近中的高性能數值算法。首先利用運算元分裂將原問題分裂為三個簡單子問題，然後分別採用譜方法、解析法、高階緊緻差分方法建立每個子問題的離散格式。並運用能量方法嚴格分析算法的能企辨犁量不增和質量守恆性。然後構造合理有效的自適應估計子芝尋講遷，對時間步長進行自適應處理。該項目的研究成果將加深對反常擴散過程本質的理解，並為非線性科學的研究和發展及複雜動力學行為的研究提供新途徑。
結題摘要
相場模型是材料學中研究相變理論和界面動力學的基本模型。然而隨著科學技術水平的不斷提高以及對問題研究的不斷深入，人們發現經典整數階模型已經不能很好的滿足實際套用需要。近年來分數階微分方程引起了人們的注意，由於其特有的歷史記憶性和全局相關性，在研究一些具有記憶過程、遺傳性質以及異質材料時，可以更簡單、合理的描述這些自然科學以及工程領域的非經典現象。本項目以空間分數階守恆型Allen- Cahn方程為重點研究對象，研究其數值逼近中的高性能數值算法，並與整數階數值結果作比較。最後進臘探贈項一步將此方法推廣到Cahn-Hilliard 方程。由於分數階導運算元及非局部守恆項的影響，使得許多求解經典整數階Allen-Cahn方程行之有效的數值方法在解決此類問題時遇到了嚴重困難。本項目採用運算元分裂思想，將原問題分裂為三個簡單子問題，然後分別採用譜方法、解析法、高階緊緻差分方法建立每個子問題的離散格式。並運用能量方法嚴格分析算法的能量不增和質量守恆性。該項目的研究成果將加深對反常擴散過程本質的理擔祝解，並為非線性科學的研究和發展及複雜動力學行為的研究提供新途徑。本項目已經取得了部分研究成果： （1）對於分數階守恆型Allen-Cahn方程，我們已經設計出有效的運算元分裂方法，並給出了相應的收斂性和穩定性分析，數值試驗表明所給格式與理論分析完全吻合。而對於算法所滿足的質量守恆性和能量遞減，理論分析具有一定難度，還處於推導階段。 （2）我們進一步研究了空間分數階Cahn-Hilliard方程，提出了質量守恆、能量遞減的高精度格式。相應成果已發表在國際期刊《Applied Mathematical Modelling》。
