《多項時間-空間分數階波動擴散方程及其套用》是依託長沙理工大學，由李景擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：多項時間-空間分數階波動擴散方程及其套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李景
- 依託單位：長沙理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
分數階偏微分方程已經在複雜系統中的反常擴散、多孔介質中的傳播、電解質的極化等一系列領域中有了令人矚目的套用。本項目旨在研究多項時間-空間分數階波動和擴散方程的解析解、數值解及其相關套用。詳細分析多項時間-空間分數階波動和擴散方程非齊次初邊值問題經典解和弱解的存在唯一性，並討論解的正則性、能量估計、漸近性態等。特別地，針對一維空間中多項時間-空間分數階波動和擴散方程,如Szabo波方程、冪律波方程，給出具體的解析解表達式。另外，給出多項時間-空間分數階波動和擴散方程的數值解，證明算法的穩定性和收斂性。最後，將上述理論和數值結果推廣到二維、三維甚至更高維空間中。本項目不僅可以促進分數階偏微分方程相關理論的進一步發展，而且使得生物工程實際問題得以解決。
結題摘要
空間分數階對流-擴散方程在具有分形結構的多孔介質傳導問題中有重要的套用。 本項目研究了變係數空間分數階擴散方程和分布階空間對流-擴散方程的疊代算法，並對相關分形力學問題進行了數值模擬，對一些相關問題和方法進行了研究。具體工作包含： 1、在有限域內研究變係數的兩邊空間分數階擴散方程。利用二階格式逼近Riemann–Liouville分數階導數，構造了Crank–Nicolson有限差分算法。同時，針對此Crank–Nicolson算法，引入了快速疊代算法，減少了計算存儲量和計算消耗。 2、在有限域上，將經典的對流擴散方程推廣到Riesz空間分數階對流-擴散方程。利用加權和移位的Grünwald差分運算元逼近Riesz分數階導數，構造出有限差分疊代算法。分析了疊代算法的無條件穩定性以及關於空間和時間的二階收斂速度。另一方面，結合Richardson插值方法，將時間和空間的收斂率都提高到了四階。 3、研究空間分布階擴散方程以及空間分布階對流-擴散方程的數值解。結合中點積分法和有限體積法，給出空間分布階擴散方程以及空間分布階對流擴散方程Crank-Nicolson疊代算法，分析了算法的無條件穩定性和二階收斂率。同時，我們用此方法求解了分數階動力問題中加速超擴散過程的數值解。
