《廣義分數階微分方程的高效數值方法研究》是依託中南大學，由徐宇鋒擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：廣義分數階微分方程的高效數值方法研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：徐宇鋒
- 依託單位：中南大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
分數階微積分在數學物理和工程問題中獲得了廣泛的套用。廣義分數階微分方程的理論基礎和高效數值方法是近幾年分數階微積分研究中的重要方向。本項目主要研究廣義分數階微分方程的高效數值方法，內容包括：運用不動點定理研究廣義分數階微分方程的可解性；基於有限差分法和插值、外推技術設計高精度有限差分格式；利用Ritz-Galerkin方法構造有限元方法求解具有對稱結構的廣義分數階微分方程；運用線性代數的相關工具，研究離散化後的差分方程中係數矩陣的特徵值分布和逆矩陣範數的上界；基於數值分析和逼近理論分析算法的穩定性、收斂性和誤差；推廣分數階導數定義，研究非矩形區域上的廣義分數階微分方程數值解及特徵。本項目旨在促進廣義分數階微分方程的研究，為高效精確地求解方程設計更好的算法和理論。本項目的開展將會極大地豐富已有的研究手段和研究方法，並對分數階微積分理論、數值代數、逼近論等領域發展提供豐富的結果和研究課題。
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結題摘要
分數階微積分和非局部運算元在數學物理和工程問題中獲得了廣泛的套用，推廣經典微積分理論和研究廣義分數階微分方程是近年來的熱點。本項目研究了幾類廣義分數階微分方程解的存在唯一性、高效數值解法，以及在燃燒爆炸過程中的套用。主要內容包括：廣義分數階古典變分問題的可解性；基於有限差分法和插值技術構造時間分數階燃燒模型的高精度格式；利用Ritz-Galerkin方法求解具有對稱結構的廣義分數階微分方程；階數較低的分數階燃燒爆炸模型的有限差分和間斷Galerkin混合算法；空間分數階燃燒模型的高精度數值模擬；基於數值分析和逼近理論分析算法的穩定性、收斂性和誤差等。主要結果包括：建立了帶Hilfer導數的變分問題滿足的Euler方程，給出了極值存在的必要條件和數值方法；建立了幾類不同溫度場約束下的燃燒爆炸數學模型，利用不同的有限差分格式和間斷Galerkin混合算法進行了數值模擬，獲得了模型淬火和爆炸時刻以及位置的數值估計；研究了一維和二維分數階反應擴散方程，設計了高效的混合數值計算方法。研究發現，燃燒爆炸過程的淬火解和爆破解敏感依賴於系統的初始條件，空間區域的形狀和大小，分數階導數的階數。本項目的實施和完成，豐富了分數階微積分建模與套用領域，對多種具體形式的分數階偏微分方程、燃燒爆炸過程的分數階微分方程模型、分數階微分方程解的局部存在性和全局存在性、奇異和退化分數階微分方程的高精度數值模擬等提供了幾種具體的方法和結果。同時，具有非局部項的分數階微分方程模型有望為繼續研究燃燒爆炸過程的複雜物理和化學變化，以及熱傳導過程提供更細緻精確的數學分析和數值模擬結果。
