《空間分數階偏微分方程高精度快速算法的研究》是依託東南大學，由孫志忠擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：空間分數階偏微分方程高精度快速算法的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：孫志忠
- 依託單位：東南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
分數階偏微分方程具有明確的套用背景.發展數值方法求解分數階偏微分方程是近年來國際上學術界的一個熱點問題. 目前, 對時間分數階偏微分方程已發展了很多穩定高效的數值算法, 對於空間分數階偏微分方程仍有許多亟待解決的問題. 然而求解空間分數階偏微分方程時不能簡單照搬求解時間分數階偏微分方程的數值方法, 因為二者是有本質區別的. 本課題旨在構造空間分數階導數一致逼近的高階數值微分公式, 進而對空間分數階偏微分方程建立高精度的差分格式, 證明其可解性、穩定性和收斂性.由於分數階導數的非局部性質, 對空間和時空分數階微分方程所建立的數值算法還要考慮減少其存儲量和降低計算的複雜度. 最後, 篩選出穩定高效的數值算法, 從而建立起一套新的求解空間分數階偏微分方程理論框架體系.
結題摘要
分數階微分方程具有重要的套用背景。由於分數階導數的非局部性質，發展高效的數值方法求解分數階微分方程是近年來國際學術界的一個重要的研究課題。本項目完成了預定的目標，取得了較為豐碩的研究成果，有些為開創性工作。具體研究成果如下: 1. 利用位移量為0，-1和 -2的 Grünwald-Letnikov公式得到逼近Caputo分數階導數的一致3階的加權位移逼近公式。將此逼近公式用於分數階低擴散方程的數值求解，得到高效的數值方法。 2. 提出了利用位移量為-1，0和1的Grünwald-Letnikov公式逼近Riemann–Liouville 分數階導數在相鄰3點的加權平均值，得到一致4階的加權位移逼近公式。將此逼近公式用於求解一維和二維空間分數階擴散方程，得到高效的數值方法。 3. 利用分數階中心差商公式逼近Riesz分數階導數在3點的線性組合值，得到一致4階的逼近公式。將此逼近公式用於求解二維空間分數階薛丁格方程和分數階 Ginzburg–Landau方程的數值求解，得到高效的數值方法。 4. 提出了逼近Caputo導數的L1-2逼近公式，逼近精度可以達到3-α階。數值結果表明該公式比L1公式時間精度高1階。 5. 利用Grünwald–Letnikov公式逼近Riemann–Liouville導數有一個超收斂點，對時間分數階擴散方程構造了一個時間2階的緊差分格式。 6. 發展了Alikhanov的L2-1_σ公式，用於求解一維、二維分數階波方程的數值求解。 7. 考慮到分數階微分方程解的奇性，提出了利用不等距格線建立分數階導數的離散逼近，用於分數階微分方程的數值求解。 8. 對二維分數階低擴散方程、分數階波方程、分數階對流擴散方程建立了高精度的緊差分格式和交替方向格式。 9. 對多項分數階低擴散方程和多項分數階波方程、 分布階擴散方程和分布階波方程、分數階Cattaneo方程、無界域上的分數階微分方程建立了高效的差分方法。 10.對Ginzburg-Landau方程、Camassa-Holm方程、相場晶體方程、外延增長模型等非線性問題以及納米熱傳導方程建立了高效的差分求解格式。 發表53篇SCI論文（其中3篇為ESI 論文），2篇北大核心論文。在科學出版社出版學術專著1部。培養出站博士後1人，畢業13人。
