隨機偏微分方程快速高精度算法

《隨機偏微分方程快速高精度算法》是依託吉林大學，由鄒永魁擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：隨機偏微分方程快速高精度算法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：鄒永魁
• 依託單位：吉林大學

項目摘要

隨機偏微分方程在許多領域（如金融、證劵、工程等）比確定性微分方程能夠更準確、更深刻地反映內在的本質特徵，在實際套用中具有重要意義。數值求解隨機偏微分方程的主要困難是由精確解的弱正則性和機率空間的高維性引起的計算複雜性。本項目的主要目的是構造新的計算方法和數值分析工具來近似求解隨機偏微分方程。我們將研究稀疏格線譜方法及其誤差分析，構造快速、穩定的數值算法求解係數具隨機性的偏微分方程。針對Zakai型隨機微分方程，將其變換成正-倒向隨機微分方程，採用廣義雙邊Ito-Taylor展開公式構造高精度的求解正-倒向隨機微分方程的數值算法，進而得到半線性隨機微分方程的數值解，我們還將以此為基礎研究求解非線性濾波問題的高精度數值算法。

結題摘要

本項目主要研究隨機偏微分方程數值計算方法。隨機模型比確定模型要複雜得多，其表現之一是隨機偏微分方程的解不再是一個簡單的函式，而是一個隨機域或隨機過程。因而，相比於確定性微分方程，隨機微分方程能夠更加細緻的描述研究對象的變化規律。根據大數定律，我們需要做大量的反覆試驗才能獲得隨機變數的統計規律，因此，如果將現有的計算確定性偏微分方程的數值算法直接套用到SPDE，需要反覆數值求解大量的確定性偏微分方程，這將導致非常巨大的計算時間和計算量，這是現有的計算條件所不能承受的。這也意味著我們需要構造新的計算方法和數值分析工具來近似求解隨機偏微分方程，模擬計算其數值解並分析蘊涵於解中的信息。 通過本項目的研究，我們項目組成員、合作者以及參與研究工作的研究生等都在一定程度上取得了不同的收穫。在學術研究方面，我們主要用弱Galerkin有限元法來研究隨機偏微分方程的快速高精度數值方法，主要內容包括兩部分：一是研究弱Galerkin有限元法本身的性質和套用情況，我們針對二階和四節發展型偏微分方程、Stocks方程和Brinkman方程等具有套用背景的模型，研究了弱Galerkin有限元法的套用，取得了很好的效果，發表SCI檢索論文5篇；二是將弱Galerkin有限元法套用於隨機方程的數值計算，我們針對美式期權隨機模型、隨機四階偏微分方程研究了弱Galerkin有限元法在其數值求解中的套用，發表SCI檢索論文7篇。另外，我們在研究過程中還針對發展方程的動力行為進行了研究發表SCI檢索論文1篇。同時我們還已經投稿4篇文章，其中兩篇已經接收，兩篇正在審稿階段，我們取得的部分成果還在整理之中，還能夠發表幾篇論文。在人才培養方面，這期間我們共培養畢業了5名博士研究生，14名碩士研究生，目前正在學習的研究生包括博士研究生6人，碩士研究生15人。通過項目的資助，項目組成員和相關合作者及研究生多次參加了國內的學術會議，開闊的學術視野，提高了學術水平，推動了這一領域學術研究的進展。