一類多尺度隨機偏微分方程的數值計算方法

《一類多尺度隨機偏微分方程的數值計算方法》是依託香港大學深圳研究院，由張智文擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：一類多尺度隨機偏微分方程的數值計算方法
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張智文
• 依託單位：香港大學深圳研究院

項目摘要

多尺度問題模型在科學研究與工程實踐的很多領域有著廣泛的套用。由於客觀世界極其複雜、人們採集的數據又非常有限，這些數學模型存在很大的不確定性。 近年來，數學模型的隨機建模，以及定量化分析模型中不確定性的影響，成為了新的研究熱點。.本項目擬研究一類帶隨機係數的多尺度問題的數值計算方法，並對算法的穩定性和收斂性進行分析。對項目中遇到的高維隨機係數問題，設計多層蒙特卡洛方法和數據驅動隨機方法，處理高維問題空間的逼近。對隨機係數導致的變係數多尺度問題，構造縮減基函式用來逼近解空間的低維結構，然後設計快速而有效的數值算法。最後利用新得到的算法，結合貝葉斯方法，對工程領域常用的流體在非均勻隨機介質中的擴散模型，進行模型的驗證與確認研究，從而為不確定性問題的建模和量化分析提供新的方法。.本項目得到的算法將能夠有效地分析多尺度問題模型中的不確定性因素的影響，從而為工程領域的科學決策提供依據。

結題摘要

多尺度問題模型在科學研究與工程實踐的很多領域有著廣泛的套用，例如油藏數值模擬和複合材料模擬。由於實際問題極其複雜、人們建模過程中能考慮的參數以及實驗過程得到的數據都非常有效，因此這些數學模型中存在很多不確定性因素。近年來，數學模型的隨機建模，以及定量化分析模型中不確定性的影響，成為了新的研究熱點。本項目就是在這樣的背景下立項的。在本項目中，我們先對一類帶隨機係數的多尺度橢圓問題分別構造了基於最佳化方法的多尺度基函式構造方法和基於壓縮基函式的數值計算方法，並對算法的穩定性和收斂性進行分析。我們還研究了帶隨機係數的多尺度擴散問題的計算方法。我們將針對帶隨機係數的多尺度橢圓問題得到的數值方法用來研究材料科學中的一個模型問題（即隨機區域半導體材料的激子擴散長度的估計），並且得到了跟實驗數據吻合的數值結果，從而可以幫助理解一些光電器件的功能特徵。我們還將基於最佳化方法的多尺度基函式的方法，推廣到計算薛丁格方程的特徵值問題和計算帶有多尺度勢函式的半經典極限薛丁格方程，並對算法的穩定性和收斂性進行了分析。我們的計算方法可以用來數值模擬一些具有定製功能的量子異質結構，例如異質結和量子超材料。我們還研究了近年來一些非常熱門的方法用來計算多尺度橢圓問題，如聚類算法和機器學習算法。我們的研究表明，這些熱門的方法在計算多尺度橢圓問題非常有效，具有一些新的優勢，值得繼續深入研究。 本項目得到的算法將能夠有效地分析多尺度問題模型中的不確定性因素的影響，從而為工程領域的科學決策提供依據。另外，本項目得到的研究結果也為後續的研究問題，比如隨機介質中的亥姆霍茲方程和多尺度介質中的兩相流等問題，提供了研究基礎和準備。