《隨機微分方程高性能數值算法理論與套用》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由洪佳林擔任項目負責人的重大研究計畫。
基本介紹
- 中文名：隨機微分方程高性能數值算法理論與套用
- 項目類別：重大研究計畫
- 項目負責人：洪佳林
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將基於馮康的思想開展在生物、金融和力學騙白犁民等領域中起重要作用的隨機微分方程高性能數值算法的理論與套用研究，重點研究保持原系統物理特性、數學結構與套用需章碑求特徵的數值方法的構造、分析與套用。擬利用現代定旬勸數學方法進行理論數值分析、結合計算機數值實驗和在生物、金融與力學等領域中的套用揭示隨機算法的一些重要腳茅蘭本質特徵，突破保持原系統物理特性、數學結構與套用需求特徵的隨機微分方程數值算法的構造、數值分析以及套用中的重點、難點與熱點問題。在發展有關隨機算法理論的同時，拓廣和深化高性能隨機算法在生物、金融與力學等領域中的套用，進一步發揮數值算法在理解、預言和發現生物、金融與力學等領域中新現象的分析和預測功能。
結題摘要
本項目聚焦於隨機微分方程高性能算法的前沿課題，取得了一系列重要研究成果。在隨機微分方程的保結構算法方面，提出了隨機哈密爾頓系統隨機辛幾何算法的隨機變分積分子方法和隨機生成函式理論；在弱收斂意義下揭示了隨機辛幾何算法具有長時間數值計算優勢的內在機理；基於隨機變分原理和隨機多辛幾何理論提出了無窮維哈密爾頓系統的隨機辛幾何算法和隨機哈密爾頓偏微分方程的隨機多辛幾何算法，分別給出若干構造方法和算法理論分析結果；在對隨機電磁學的套用中，發現隨機辛算法和隨機多辛算法均能保持原數學模型的重要統計物理性質。在收斂性及穩定性整殼放分析方面，對隨機薛丁格方程的時間半離散和倒向隨機微宙捉促櫃分方程數值方法建立了基本收斂性定理，發現了局部均方階與全局均方階的關係，提出了均方收斂階的一般性判別準則；給出了隨機θ方法保持線性隨機微分方程均方穩定性的條件，證明了分裂步θ方法能保持非線性隨機微分方程的均方指數穩定性；研究了Itô-型隨機微分方程一類含參預校算法的穩定性, 給出了該方法的幾乎必然穩定和矩指數穩定判據。對於正倒向隨機微分方程，通過引入倒向正交多項式的新概念，提出了求解布朗運動和跳驅動的非耦合正倒向隨機微分方程組、全耦合正倒向隨機微分方程的高精度、強穩定、高度並行的數值方法；提出了G-布朗運動的數值模擬方法以及求解正倒向隨機微分方程的高精度和強穩定的遞延算法。對於隨機延遲微分方程，在耦合性條件下證明了θ方法的均方指數穩定性、分裂步θ方法具有強收斂性並能保持原系統的均方耗散性；提出研究數值方法的延遲依賴穩定性這一新課熱想嬸題，對一類線性隨機延遲微分方程，獲得隨機θ方法均方漸近穩定的完整延遲依賴穩定區域；對一類非線性系統證明了隨機向後歐拉方法能無條件保持連續系統的延遲依賴穩定性。對於高維隨機參數輸入的偏微分方程，構造了高維空間的確定性樣本，證明了多項式離散投影方法的穩定性及收斂性，消除了失敗機率；提出了通過平衡態測度進行抽樣的隨機配置方法，證明了算法的穩定性和收斂性，並將這個框架整體推廣到壓縮感知方法之中，取得相關的穩定性及收斂性結果，較大地降低了計算量。本項目在J. Comput. Phys.、J. Comput. Math.、Numer. Math.、SIAM系列刊物等國際性學術期刊上發表論文50餘篇，研究成果得到國際同行許多肯定性引用和好評，並引發若干後續性研究。
