《具多項式非線性的橢圓型方程的多解計算》是依託大連理工大學,由張旭平擔任醒目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：具多項式非線性的橢圓型方程的多解計算
- 依託單位：大連理工大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張旭平
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
半線性橢圓型方程和方程組廣泛存在於科學與工程問題中。通過數值計算這些方程和方程組的多解，我們可以獲取解集和解的形狀等方面的信息，為解決原來的科學與工程問題提供強有力的幫助。現實中的很多半線性橢圓型方程和方程組具有多項式非線性，此類微分方程離散化後的代數方程組將是多項式方程組。數值代數幾何中的同倫延拓法是獲取多項式方程組全部解的有效數值方法。因而，在本課題中，我們將專門針對多項式非線性橢圓型方程和方程組的多解計算進行研究。具體而言，我們將從微分方程離散化方法和離散後的多項式方程組的同倫方法兩方面入手，研究二維方形區域和圓形區域上，具有常係數和變係數多項式非線性橢圓型方程和方程組多解計算的理論和算法。在此基礎上，我們將進一步研究三維相關問題的多解計算，以及這些理論和算法在科學與工程問題中的套用。
結題摘要
本項目按研究計畫執行了多項式非線性方程多解計算方面六個問題的研究，其中三個問題取得成果，其他三個問題由於難度比較大目前還在繼續研究。另外，在此項目資助下，還開展了帶PDE約束最佳化方面兩個問題的研究，以及非線性特徵值問題數值計算的研究。下面我們對取得的成果做簡要介紹。 I. 多項式非線性微分方程邊值問題的多解計算 （1）對於帶多項式非線性的橢圓型微分方程的邊值問題，證明了特徵函式展開法得到的離散化問題解集合繼承了連續問題解集合的對稱性。構造了能保持對稱性的同倫，以快速求解一般常係數三次和五次非線性橢圓方程離散化方程組的全部解。 （2）對於四階的非線性常微分方程邊值問題，得到特徵函式展開法的離散誤差估計，提出求解離散方程組的擴張同倫方法，並且提出新的偽解過濾策略，即採用有限差分格式作為過濾子。 （3）對於微分方程組的邊值問題，得到特徵函式展開法的離散誤差估計。同時我們還構造了求解微分方程組多解的對稱同倫方法，該同倫還保持了微分方程組的結構對稱性。 II. 帶PDE約束的最佳化問題 很多力學或控制中的問題都可以表述為帶偏微分方程約束的最佳化問題，這一類問題所涉及的理論及算法也非常具有挑戰性和實用性。我們做了如下的工作： （1）對帶狀態約束的橢圓型最優控制問題，我們採用Lavrentiv正則化，用一系列帶控制約束的問題逼近原問題。我們對正則化問題採用分片線性有限元進行全離散，並做誤差估計。我們提出用各向異性的交替方向乘子法（ADMM）和兩階段策略以快速求解離散化問題。 （2）對目標泛函帶L1範數的稀疏最優控制問題，我們提出函式空間中的交替方向乘子法（ADMM）。我們定義了近似的離散L1範數和近似的離散L2範數，並對離散化問題做誤差估計。我們提出改進的ADMM方法求解離散化問題。 III. 非線性特徵值問題 非線性Schrodinger方程的行波解可歸結為一個非線性微分方程的特徵值問題，最小特徵值對應的特徵函式對應於基態，其他特徵值對應的特徵函式對應於激發態。激發態對應的特徵值問題也是一個既有趣又有挑戰性的問題。我們做了如下工作： （1）我們對非線性特徵值問題採用有限差分法進行離散，用一種新方法得到特徵值和特徵函式的誤差估計。我們構造了能夠對特徵值大小保序的同倫，以計算非線性特徵值問題的多個特徵值和特徵函式。
