由邊界測量數據的反演計算問題

《由邊界測量數據的反演計算問題》是依託浙江大學，由程曉良擔任項目負責人，於2015年批准的國家自然科學基金面上項目。

該項目研究微分方程反問題的數值方法，通過邊界上的Dirichlet和Neumann測量數據去反演區域內的量。主要研究醫學成像中生物發光體的反源問題及藥物層析分離模型的係數反演問題；研究基於復邊界耦合方法及Kohn-Vogelius方法；研究藥物層析法分離成份的數學模型；同時對部分邊界測量數據去反演另一部分邊界量的Cauchy問題，反演Robin邊界係數等問題也開展研究。

基本介紹

• 中文名：由邊界測量數據的反演計算問題
• 依託單位：浙江大學
• 項目負責人：程曉良
• 項目類別：面上項目
• 批准號：11571311
• 申請代碼：A0505
• 研究期限：2016年1月1日至2019年12月31日
• 支持經費：45（萬元）
• 批准年度：2015年

項目性質

• 項目定位

《由邊界測量數據的反演計算問題》研究微分方程的反問題計算：由邊界測量數據反演區域內部量，或部分邊界測量數據反演另一部分邊界值等問題。區域上的問題是橢圓型微分方程、或拋物型微分方程，或具有自由邊界的對應於變分不等式的方程。將深入研究復耦合Robin邊界條件來處理測量數據的Dirichlet和Neumann邊界條件，研究此方法的反演計算的理論和數值分析及穩定性。在利用正則化方法時，還將討論Kohn-Vogelius型方法，將構造的兩個微分方程和正則化小參數相結合，得到一致於正則化參數的結果。將主要研究數值格式的理論、穩定性、誤差估計及算法的高效率實現。研究的問題在生物光源體的圖像處理、彈性體的縫隙和損傷探測等具有重要的套用。

項目分工

《由邊界測量數據的反演計算問題》參加人員為兩個教師，其他為博士研究生和碩士研究生。程曉良教授復責課題的選題和理論，數值分析部分，葉興德副教授復責算法部分，每周1-2次和研究生的討論班。課題組和其他老師，其他學院的研究人員都有交流。

研究成果

1、用復邊界耦合方法反演傳導係數的反問題，通過邊界的額外條件和數據，反演計算區域內部係數函式的問題。復邊界耦合方法通過實部虛部把兩個條件耦合在一起，用復的微分方程實部解和虛部解的對應關係，最佳化虛部解來反演傳導係數。進行理論分析和數值分析，實現問題的數值模擬。

2、和瑞典Orebro，Karlstad大學合作藥物萃取過程中數學模型，用Kohn-Vogelius泛函極小問題和復邊界方法層析模型，將不同邊界觀察數據對應不同微分方程，然後通過微分方程的解的最佳化去反演方程中非線性部分係數的一個高效算法。

3、用反演傳導係數的拼接定理的一個結果，這是和水平集方法相結合的一種算法。通過區域內梯度的觀測值去計算傳導係數，數值分析和數值實驗說明了算法的有效性。還將利用邊界數據去反演限制類別的傳導係數問題，和研究的復邊界，Kohn-Vogelius算法等結合起來。

4、另一個工作是求解非線性問題的同倫算法，將同倫算法和反問題算法結合。利用部分邊界的額外數據去反演微分方程的源項，用復邊界或Kohn-Vogelius泛函轉化成求區域內泛函的最佳化問題。由於最佳化問題的高度非線性性質，利用同倫算法，克服初始值的選取及算法的有效性。

5、在用反問題的最佳化問題中，結合常微分方程漸進性質及量能的單調下降性質，構造二階的疊代格式。將此方法套用到反源問題的計算中，還用此方法提出求解變分不等式的一個算法。

6、項目在微分方程反問題的兩類問題中取得較多的研究成果，發表論文（標註項目資助）共13篇。

序號	標題	類型	作者
1	A parametric level set based collage method for an inverse problem in elliptic partial differential equations	期刊論文	Lin Guangliang(#); Cheng Xiaoliang; Zhang Ye(*)
2	A coupled complex boundary expanding compacts method for inverse source problems	期刊論文	Zhang Ye(#)(*) Gong RongfangGulliksson Marten Cheng Xiaoliang
3	A regularization method for the reconstruction of adsorption isotherms in liquid chromatography	期刊論文	Ye Zhang(#)(*) Guangliang Lin Patrik Forssén Mårten Gulliksson Torgny Fornstedt Xiaoliang Cheng
4	Numerical Analysis of Inverse Elasticity Problem with Signorini's Condition	期刊論文	Zheng, Cong(#) Cheng, Xiaoliang Liang, Kewei
5	ANALYSIS OF A NUMERICAL METHOD FOR RADIATIVE TRANSFER EQUATION BASED BIOLUMINESCENCE TOMOGRAPHY	期刊論文	Gong Rongfang(#)(*) Joseph Eichholz Cheng Xiaoliang Weimin Han
6	An adjoint method in inverse problems of chromatography	期刊論文	Zhang Y(#)(*) Lin G Gulliksson M; Forssen P Fornstedt T Cheng X
7	A homotopy method for bioluminescence tomography	期刊論文	Gong R F(#)(*) Cheng X L Han W
8	A regularizing Kohn-Vogelius formulation for the model-free adsorption isotherm estimation problem in chromatography	期刊論文	Lin G(#); Zhang Y(*) Cheng X; Gulliksson M. Forssen P. Fornstedt T.
9	帶損傷彈性反問題的數值分析	期刊論文	鄭聰(#) 程曉良 梁克維
10	A modified Tikhonov regularization method for a Cauchy problem of a time fractional diffusion equation	期刊論文	Cheng Xiao liang(#) Yuan Le le Liang Ke wei(*)
11	A coupled complex boundary method for the Cauchy problem	期刊論文	Cheng, X. L.(#) Gong, R. F. Han, W.
12	Error estimate for quasistatic history-dependent contact model	期刊論文	Cheng Xiaoliang(#) Xiao Qichang Migorski Stanislaw Ochal Anna(*)
13	Numerical identification of Robin coefficient by a Kohn–Vogelius type regularization method	期刊論文	Yu Yuanjie(#)(*) Cheng Xiaoliang

項目套用

《由邊界測量數據的反演計算問題》的數學模型來源於實際問題，但離真真的套用還有距離。在藥物萃取模型和卡爾斯塔德大學工程與化學學院合作，研究成果對卡爾斯塔德大學工程與化學學院的數學模型的改進提高數學支持，但沒有直接轉化為套用。

該項目成果擬套用領域：1、醫學成像的檢測和診斷，2、藥學成份分析；預計在5-10年推廣使用。

人才培養

在項目執行2016年-2019年這四年中，共畢業碩士研究生5名，博士研究生4名，在讀碩士生5名，博士生6名。其中博士生林光亮的畢業論文就是藥物層析萃取模型的反問題研究，這是項目主要內容之一，其他部分相關。此期間的研究生受益於項目資助，多人連續三年參加微分方程數值解暑期學校，參加學術會議。

合作交流

國內交流

該項目和南京航空航天大學的龔榮芳博士，西安交通大學的王飛博士，華東師範大學的朱升峰博士等合作。

該項目課題組在2018年11月舉辦小型研討會，2017-2019參加了1-3屆微分方程數值解暑期班，參加三亞數學論壇，西安學術會議，華東師範大學的最佳化控制會議及華東師範大學的中俄會議，杭州師範大學國際會議等。

該項目在浙江大學校內由於反問題套用範圍很廣，控制學院、機械學院教授及研究生、阿里巴巴前沿技術聯合中心的技術人員都有合作交流。

國外交流

該項目和美國愛荷華大學的韓渭敏教授長期合作，這是BLT反問題的來源；和瑞典厄勒布魯大學數學系，卡爾斯塔德大學工程和化學學院的幾位教授合作，對藥物萃取的數學模型進行數值模擬，為改進數學模型提供指導；合作者張曄博士從瑞典，後獲德國洪堡基金的資助。

項目資金

國家自然科學基金項目資金決算表（定額補助）

金額單位：萬元
科目名稱	預算數			累計支出數	結餘
	批准預算	預算調整數	調整後預算
	(1)	(2)	(3)=(1)+ (2)	(4)	(5)= (3)- (4)
合計	45.000	0.0000	45.000	16.9590	28.0410
1、設備費	2.0000	0.0000	2.0000	0.0000	2.000
(1)設備購置費	2.000	0.0000	2.000	0.000	2.0000
(2)設備試製費	0.0000	0.0000	0.000	0.0000	0.000
(3)設備升級改造與租賃費	0.0000	0.0000	0.000	0.0000	0.000
2、材料費	4.50000	0.0000	4.5000	0.2078	4.2922
3、測試化驗加工費	0.000	0.000	0.000	0.000	0.0000
4、燃料動力費	0.0000	0.0000	0.000	0.0000	0.0000
5、差旅/會議/國際合作與交流費	21.5000	0.0000	21.5000	9.7293	11.7707
6、出版/文獻/信息傳播/智慧財產權事務費	5.0000	0.00	5.000	2.3894	2.6106
7、勞務費	9.6000	0.0000	9.6000	4.6325	4.9675
8、專家諮詢費	2.4000	0.0000	2.4000	0.0000	2.4000
9、其他支出	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
註：1.表中(1)、(3)、(5)欄為系統自動生成,不需項目負責人填寫；2.表中(2)欄填列經批准的預算調整數；3.表中(4)欄填列項目的實際支出數。

項目成員

程曉良，浙江大學數學科學學院教授、博士生導師。

葉興德，浙江大學數學科學學院教授、碩士生導師。