橢圓型方程邊界反演及在逆散射中的套用

《橢圓型方程邊界反演及在逆散射中的套用》是依託東南大學，由劉繼軍擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：橢圓型方程邊界反演及在逆散射中的套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：劉繼軍
• 依託單位：東南大學

中文摘要

考慮由Helmholtz方程描述的一類橢圓型方程的邊界反問題，目的是由外問題的解在無窮遠處的信息（散射波的遠場數據）來確定定解問題的邊界性態。問題的物理背景是利用電磁散射波的遠場數據來檢測散射體的邊界形狀和性質。和經典的最佳化識別方法不同，本項目基於申請人及其研究小組最近發展起來的標誌函式方法，利用此函式的逼近行為來確定邊界形狀和性態，研究反演的數值實現方法特別是利用有限測量數據重建的精度問題。重點研究散射體的邊界凸性和凹性以及邊界上的阻尼條件對散射行為的影響，這種影響使得可以通過引進邊界上阻尼係數的適當分布，來控制散射體邊界利用遠場數據的可探測性。本項目的創新點在於通過邊界反問題的數學研究給出了散射體的最優設計和散射體隱形的可能性。我們提出的反演方法的數學上的本質是一類高維奇性函式的逼近問題，它涉及到奇性積分的有效計算，帶弱奇性核的第一類積分方程的求解，橢圓型方程外問題的數值解等。

結題摘要

考慮由橢圓型方程描述的介質散射的邊界反問題，主要研究目的是由外問題的解在無窮遠處的信息來確定定解問題的邊界性態，包括利用標誌函式的方法和最佳化方法確定邊界的阻尼係數和邊界形狀,研究反演的數值實現方法，特別是利用有限測量數據重建的精度問題，同時也充分關注在項目研究過程中出現的新的反問題和研究方法。利用標誌函式的構造、多散射體的波場分解、基於基本解的最佳化方法等一系列創造性的反演技術，本項目圓滿完成了研究計畫中關於散射體邊界性態的重建任務。對基於全部入射方向的遠場數據重建散射體邊界的逆散射問題的探測方法，建立了重建近場D-to-N映射的穩定性方案和誤差估計，為數值實現提供了理論保證；對基於有限個入射方向對應的散射波遠場數據同時重建散射體邊界形狀和邊界阻尼係數的複雜逆散射問題，提出了基於基本解的最佳化方法，對其中源函式的位置的選取的定性理論、正則化解的收斂性等給出了系統的理論分析，部分解決了工程領域使用MFS方法時源函式選取的不確定性的問題。對邊界形狀已知時重建邊界阻尼分布的問題，建立了基於邊界積分方程的變阻尼係數重建方案及正則化解的誤差估計，從而可以有效檢測目標散射體的邊界性態，推廣了Colton-Kress小組的相關工作；對多重介質和多個封閉散射體的散射問題，建立了波場分解方法，把整個總場分解為通過邊界條件耦合的多個單一散射體產生的散射波的疊加；對嵌入在開放多層介質中的散射體的散射問題，系統建立了外層介質的透射邊界條件，進而通過層剝離技術有效計算散射場。這些工作圓滿完成了本項目預計完成的研究任務。 除此之外，對研究過程中出現的關於入射波在斜入射時的波場散射問題、關於標誌函式的方法推廣到熱傳導方程時內部腔穴的重建的問題、對雙曲-拋物系統的多參數重建問題、對標準的拋物方程和時間分數階導數的逆時問題等，發展了Carlemann估計技術，特徵函式展開技術，並且都給出了有效的數學分析和數值實現。 這些工作除了已把它們用於內部參數成像、圖像處理等新的反問題求解以外，還為一批新的具有重要套用意義的反問題的求解提供了數學基礎。 本項目已發表15篇SCI論文，10次國際會議報告，4次國內會議邀請報告，培養研究生14名，主辦國際國內學術會議各一次。同時基於本項目的工作基礎，我們在2013年成功申請一項NSFC重大研究計畫。