具有臨界指數增長的橢圓型方程若干問題的研究

《具有臨界指數增長的橢圓型方程若干問題的研究》是依託江蘇大學，由王俊擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：具有臨界指數增長的橢圓型方程若干問題的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：王俊
• 依託單位：江蘇大學

項目摘要

本項目主要利用變分方法研究具有臨界指數增長的橢圓型方程及其相關問題。這些問題與力學，物理，天文和材料科學等學科有密切聯繫，具有重要的套用背景和理論價值。但由於缺乏緊性條件，這些問題的研究有很大難度，本項目力求突破這一難點。首先，研究具有臨界指數增長的Schr?dinger方程、p-Laplace方程、Schr?dinger-Possion系統、Kirchhoff方程和擬線性橢圓方程中解的存在性及其相關問題，重點關注半經典情況下解的存在性及其性質，這同樣是物理學家關注的重點。然後再對具有臨界指數增長的強不定橢圓型方程和Dirac方程中解的存在性和多重性等問題進行深入探討，得到一些新的研究成果，特別關注在凸凹組合的非線性增長條件下系統解的存在性及其性質。

結題摘要

利用變分方法解決非線性偏微分方程問題是目前國際數學研究中非常活躍的研究領域。由於其在數學科學發展中的前瞻性、交叉性和廣泛性，該領域一直受到國際數學界和物理學界的長期關注。這些非線性微分方程問題來源於力學，物理，天文和材料科學等學科，具有重要的套用背景和理論價值。但由於缺乏緊性條件，這些問題的研究有一定難度，本項目突破了這一難點，取得了以下的研究成果：第一，運用Ljusternik-Schnirelmann疇數定理，證明了薛丁格和薛丁格-泊松系統中多解的存在性及集中性。此外，研究了薛丁格-泊松系統中多包解的存在性和多重性，並首次給出了兩個包之間的最小距離。第二,研究了具有勢阱位勢的Kirchhoff問題，證明了基態解的存在性，並且得到了解的漸進性態。第三，在非線性項更弱的條件下，證明了半經典P-Laplace系統中解的存在性、多重性和集中性。最後，對弱耦合的橢圓方程組的研究，一方面證明了當耦合係數一個滿足一定最佳條件下，證明了系統基態解的存在性和解的漸進性態，同時，得到了解的多重性和集中性。另一方面在參數滿足一定的最佳條件時，證明了非局部的弱耦合薛丁格方程組中基態解的存在性、解對存數連續依賴性和唯一性，為進一步對此問題的研究提供了重要的基礎。此部分解的多重性和集中的結果是第一個關於此類弱耦合系統的結果，揭示了這類問題解的豐富結構。