《源於調和映射的若干問題的研究》是依託北京師範大學，由趙亮擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：源於調和映射的若干問題的研究
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：趙亮
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目的兩個主要研究對象是Dirac調和映射和從Finsler流形出發的調和映射，它們都與經典的調和映射相關。Dirac調和映射是調和映射在超對稱情形下的自然推廣，具有明顯的物理意義；Finsler流形上的調和映射是經典調和映射從幾何角度的自然推廣，在幾何上也有重要的意義。. 具體地說，本項目要研究Dirac調和映射奇點處的爆破性質以及高維情形下的部分正則性，同時也關注對應的退化橢圓系統p-Dirac調和映射的正則性和奇點性質。對於從Finsler流形出發的調和映射，我們關注奇點處的爆破性質以及高維情形下的部分正則性，並且我們希望研究Finsler流形上的極小曲面以及Liouville方程。
結題摘要
本項目從幾何和物理的角度推廣經典調和映射，研究與其相關的幾種問題。具體地說，本項目要研究這兩類調和映射的爆破性質及正則性，同時，希望研究Finsler流形上的極小曲面以及Liouville方程。 經過三年的研究，主要取得了以下成果。 1、通過證明一類全空間上的Adams不等式，我們估計了一類多次調和擬線性方程的極大極小水平值，得到了這類方程解的存在性，並且進一步證明了方程的多解性。 2、研究了多次調和的Kirchhoff型方程，證明了臨界指數增長的情形下，方程解的存在性和多解性。 3、證明了一類向量值函式的Adams不等式。 4、證明了映到一類具有物理背景的Lorentzian流形的調和映射的一些重要的分析性質，並且分析了它的奇點行為，得到了相應的能量等式。 我們的研究對象，都是本領域中的熱點問題，通過所得到的研究成果，對研究對象的一些基本的數學性質給出了清晰的答案。同時，這些問題都具有明確的幾何和物理背景，對於探尋它們在其他學科中的進一步套用，也有重要的意義。
