《從退化黎曼曲面出發的調和映射和共形浸入映射研究》是依託湖北大學，由陳立擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：從退化黎曼曲面出發的調和映射和共形浸入映射研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：陳立
- 依託單位：湖北大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
從黎曼曲面出發的一列調和映射和共形浸入映射收斂性研究中的爆破分析在幾何和分析上都有著重要的意義。當黎曼曲面固定時，這幾類映射列在爆破後，能量等一些量具有守恆性，並且沒有脖子(neck)。那么，當黎曼曲面的共形結構發生退化時，這些量是否仍然守恆以及脖子(neck)的狀況又如何了？本項目中，我們擬對這些問題展開研究。主要研究內容如下：(1)從退化黎曼曲面出發的能量和張量場L2範數都一致有界的一列映射，在收斂過程中發生爆破後，能量恆等式和脖子(neck)的分析；(2)從退化黎曼曲面出發的一列調和映射在收斂過程中爆破的發生與靶流形曲率之間的關係；(3)從退化黎曼曲面出發的共形浸入映射，在收斂過程中發生爆破後，全高斯曲率恆等式和脖子(neck)的分析。
結題摘要
調和映射中的爆破分析，調和微分同胚以及相關問題在幾何和分析上都有著重要的意義。本項目對這些方向研究得到如下結果：(1) 建立了退化黎曼曲面出發的一列共形浸入映射在收斂性過程中的全Gauss 曲率恆等式和像集測度的恆等式。(2) 證明了環面上旋轉對稱調和微分同胚的一些存在性和非存在性的結果。(3) 發現了4維環面之間高階調和微分同胚的Nitsche型現象。研究了與高階調和映射相對應的高階能量的極小子問題，給出了4維環面微分同胚的高階能量的極小子存在的充要條件。(4) 研究高階Ricci流，得到了4維情形的短時間存在性，以及發現了一個類似Ricci流的雪茄孤子。
