《擬共形映射理論中的若干問題》是依託蘇州大學，由沈玉良擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：擬共形映射理論中的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：沈玉良
- 依託單位：蘇州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將研究擬共形映射理論中的若干基本問題。我們將利用實分析、調和分析的理論和方法，特別以Muckenhoupt加權條件和Carleson測度條件作為工具， 研究弦弧曲線所對應的擬對稱粘合映射的光滑性及其典型擬共形延拓（包括Beurling-Ahlfors延拓、Douady-Earle延拓）的性質， 進而討論弦弧曲線空間的連通性及其復解析理論， 並套用於Cauchy積分等相關課題的研究中。我們還將通過對平面QED問題的討論，進一步了解極值擬共形映射的最大伸縮商、QED常數以及邊界QED常數之間的關係， 從而提供計算極值擬共形映射的最大伸縮商進而計算Teichmuller距離的多種途徑， 並希望能夠將相對成熟的QED問題的平面理論推廣到一般度量空間上。我們擬通過本項目的研究，得到一些具有原創性的研究成果和研究方法，推動國內在擬共形映射研究方面的發展。
結題摘要
利用BMO理論討論了弦弧曲線空間以及與其密切相關的BMOA-Teichmuller 空間和VMOA-Teichmuller空間的幾何拓撲結構，證明了BMOA-Teichmuller 空間和VMOA-Teichmuller空間的可縮性。利用弦弧曲線空間，引入了增廣BMOA-Teichmuller 空間的概念，並利用BMO拓撲給出了它的一個複流形結構。利用分式Sobolev空間理論給出了Weil-Petersson Teichmuller空間所對應的擬對稱同胚的一個內蘊刻畫, 並解決了Takhtajan和Teo提出的一個公開問題。討論了在整個萬有Teichmuller空間上擬對稱流的連續性。在此基礎上，證明了光滑Zygmund向量場對應的擬對稱流屬於小Teichmuller空間， 而指數為3/2的Sobolev空間的向量場的流屬於Weil-Petersson Teichmuller空間。結合極值擬共形映射的最大伸縮商、 QED常數以及邊界QED常數之間的關係進一步研究了QED問題，並利用近年來Heinonen與Koskela等人關於Loewner空間上的擬共形映射理論，討論了Loewner空間上相應的QED問題。考慮了實軸到自身的擬對稱同胚的伸縮商與其擬共形延拓的最大伸縮商之間的關係，給出了這兩個量相等的充分必要條件。還考慮了單位圓上的縫契約胚是Bi-Lipschitz，Bi-Holder，擬對稱這三個條件的等價幾何性質。
