《度量空間上的擬共形映射及其相關研究》是依託汕頭大學，由王仙桃擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：度量空間上的擬共形映射及其相關研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王仙桃
- 依託單位：汕頭大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目計畫主要研究以下內容。（1）R^n中的擬共形映射：1989年，Heinonen在研究John域上的擬共形映射時提出了關於弱擬對稱映射與擬對稱映射關係的猜測。我們將利用曲線族的共形模等來討論這個問題，從而揭示擬對稱映射、擬共形映射與John域之間的緊密聯繫。（2）Banach空間上的Gehring-Hayman不等式：如何建立Banach空間中的Gehring-Hayman不等式被Heinonen和Rohde於1993年、Vaisala於2005年分別作為公開問題提出。我們將建立一種幾何與分析相結合的辦法來攻克此問題，並給出相關套用。（3）度量空間中一致域Gromov雙曲邊界上的擬共形理論：我們將利用度量空間中一致域的度量邊界和Gromov雙曲邊界之間的（相對邊界）擬對稱對應和(相對邊界)擬Mobius對應等來刻畫它們之間的rough擬等距等價性，並給出套用。此研究具有重要的理論意義。
結題摘要
此項目研究期間，我們按原計畫對擬共形映射、Gromov雙曲性、調和映射、調和映射與擬共形映射的聯繫、調和映射與偏微分方程的聯繫等展開了研究，得到了系列結果，其中肯定回答公開問題和猜測6個。共發表論文（標註本項目資助）39篇，其中在SCIE刊物發表論文37篇。具體如下：（一）在前一個項目資助期間所得到研究工作的基礎上，進一步討論了歐幾里德空間上的擬共形映射、擬對稱映射和弱擬對稱映射三者的關係；研究了度量空間上的Semisolidity和局部弱擬對稱性的關係。這些研究均是圍繞歐幾里德空間上的擬共形映射是否具有擬對稱性這一極具重要性的問題而展開的。這些研究解決了由美國Heinonen教授等提出的公開問題。主要結果發表在Adv. Math.、Studia Math.等國際權威刊物。（二）提出了roughly Apollonian bilipschitz同胚以及φ-距離比同胚兩個映射類，得到了域的Gromov雙曲性等性質關於這些映射類的不變性。同時開始了擬度量空間上擬共形映射的研究：提出了弱Quasi-Mobius映射，得到了此類映射、以及與Quasi-Mobius映射相關的系列結果，為將來的繼續研究奠定了基礎。相關結果發表在Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 等國際權威刊物。（三）找到了雙曲Poisson方程的通解，同時還研究了Poisson方程和雙曲Poisson方程解的Lipschitz連續性。這些研究推廣了已有關於調和映射的相關研究。主要結果發表在 Calc. Var. Partial Differential Equations、Israel J. Math.、Ann. Acad. Sci. Fenn. Math.等國際權威刊物。
