《Teichmuller度量幾何及其相關問題》是依託北京航空航天大學，由漆毅擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Teichmuller度量幾何及其相關問題
- 依託單位：北京航空航天大學
- 項目負責人：漆毅
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究Teichmuller度量的幾何以及以及與之相關的擬共形映射的極值理論，包括Teichmuller度量下的角度、測地盤的唯一性、Teichmuller度量的凸性，公共Hamilton序列、塌陷型Beltrami微分等問題的研究。這些都是Teichmuller度量幾何中基礎而重要的問題，這些問題的任何實質性進展有助於更好地理解Teichmuller度量的幾何以及擬共形映射的極值理論。我們對這些問題已進行了多年的研究，並取得了階段性成果，為我們實現研究目標奠定了基礎。
結題摘要
測地線和測地盤的唯一性問題、Teichmuller空間的凸性是Teichmuller度量幾何研究中的基本而又重要的問題，有關它們的任何實質性進展都有助於對Teichmuller度量幾何的進一步理解。本項目主要研究了漸近Teichmuller空間中的這些問題，以及擬共形映射的極值理論中的相關問題。 我們證明了在萬有漸近Teichmuller空間中，連線基點和任何非本性點的測地線段都有無窮多條，而且包含基點和任意一個非本性點的全純測地盤都有無窮多個。同時我們還證明了在無窮小漸近Teichmuller空間中有類似結果。 為了研究Teichmuller空間的凸性，幾年前我們就在Teichmuller空間中引入了角度的概念。本項目建立一個漸近Teichmuller度量的雙無窮小形式, 在漸近Teichmuller空間引入了角度的概念，證明了測地射線之間角度的存在性，並給出了它們的精確的公式。同時我們也證明了在漸近Teichmuller空間中一般的相交測地線段之間這樣的角度不一定存在，而且即使在存在的情況下，測地三角形的內角和可以取0到3π之間的任何一個數，這表明企圖通過這樣的角度去獲得漸近Teichmuller空間的某中雙曲性是困難的。 我們還研究了極值映射中的公共Hamilton序列問題、塌陷的極值Beltrami微分的存在性問題、擬對稱同胚的三角剖分擴張與強對稱同胚的Douady-Earle擴張、模空間中的EDM射線、平面調和映射等。在這幾方面我們取得了一系列的成果。 此外，我們引入了Riemann球上多餘4點的閉集的漸近Teichmuller空間的概念，證明了相應的同構定理，並證明了其上具有無窮維復Banach結構。
