基本介紹
- 中文名：擬共形映射
- 外文名：Quasi conformal mapping
- 別稱：擬保角映射
- 性質：複分析中的一套技術手段
- 領域：數理科學
簡介,定義,相應條件,套用及發展,
簡介
擬共形映射又稱擬保角映射，原本是複分析中的一套技術手段，現已發展為一套獨立學科。其定義如下：
若存在 K 使
為擬共形映射，則稱 為擬共形映射。
擬共形映射的定義也可以延伸至較高維度或非連續可微的情形
在定義區域內把每一微小圓映成微小橢圓的映射，是共形映射的推廣。如果所映成的橢圓的長軸與短軸之比在定義區域內恆不大於K，則此映射為K-擬共形映射。在可微點處，
與
滿足不等式
。這種映射較共形映射的條件弱，但保留著共形映射多種性質，靈活而便於套用。
最早提出這類新映射的是H.格勒奇(1928)，他為了敘述與證明皮卡定理的一個推廣而引進這類新映射。他同時給出了伸縮商概念，它可以度量這類新映射與熟知的共形映射的偏差程度。М.Α.拉夫連季耶夫(1935)，L.V.阿爾福斯(1936)又分別從偏微分方程與函式論的角度研究了這類新映射。這樣，擬共形映射這個術語開始出現。
擬共形映射的概念不能僅限於可微的情形，因為可微的擬共形映射類缺乏緊性。在這個概念的演變過程中，形成為分析的與幾何的兩種定義形式；這二者最終又統一了起來(1957)。
定義
分析定義：對於平面上的復值可測函式μ(z),μ(z)是本性有界的，
以M(z)為係數的貝爾特拉米方程
相應條件
在
中的弱正則同胚解ƒ,稱為K- 擬共形映射，其中 。對於上述的μ(z)，方程(1)必存在一個同胚解。如果還有另外一個解g，則F=g☉ƒ必是解析的，此時g=F☉ƒ。因此，如要求(1)的全平面的同胚解且保持0、1、∞為不動點，則這樣的解是唯一的，稱為方程(1)的基本同胚。存多記埋在定理的證明有一個長的歷程，並有許多證法。最簡單的證法是藉助於考爾德倫－贊格蒙理論而獲得的(1957)。最早的證明應該屬於C.B.莫利(1938)，只是因為術語與重點的不同才掩蓋了他的工作與這一理論的聯坑蒸墓系，而這種聯繫是L.伯斯在1957年發現的。
幾何定義用了極值長度概念。設Г 是平麵漿雄上一族局部可求長弧，ρ是平面上的正值可測函式，並且
設ƒ是域內一個正向同胚映射，如果λ（f☉Γ）
K λ （Γ）對該域內任一族曲線Г 成立，則ƒ 是一個 K- 擬共形映射。這是K-擬共形映射的幾何定義。因為極值長度是不受維數限制的，所以幾何定義可以進行形式推廣而形成高維擬共形映射。這方面的工作只初具規模。
當K=1即k=0時，貝爾特拉米方程退化為柯西－黎曼方程；而式(2)則意味著極值長度乃是共形映射下的不變數。1-擬共形映射恰好是共形映射。
設墊海棕ƒ(z)是境講頌贈把|z|<1映成|w|<1(ƒ(0)=0)的K-擬共形映射，則ƒ(z)可擴張為|z|≤1到|w|≤1的同胚映射,而且有偏離估計
這是用參數表示法獲得的一個精細估值。這種映射還滿足赫爾德條件：這個條件說明，這個映射族有緊性。設ƒ(t)把實軸映成實軸，存在一個把Imz≥0映成 Imw≥0，且以ƒ(t)為邊界值的K- 擬共形映射的充要條件為，
對一切實數x與t成立，式中ρ是一個僅與K有關的實數。
如果
則以μ(z)為係數的貝爾特拉米方程的基本同胚ƒ(z)，在略去關於ε 的高階項以後，可以表示為
這個近似表示是變分公式的精緻化，在研究極值問題時有許多套用。極值問題一開始就支配著擬共形映射理論。對於通常由幾何和拓撲條件規定的映射族，要求在族中求得一個映射ƒ，它的最大伸縮商取得最小值。由於緊性，極值映射必存在，但解不一定是唯一的，犁凳設即使是唯一的，也還有一個如何描述和分析這個解的問題。擬共形性是一種局部性質,所以可在黎曼曲面上推廣,而上述極值問題仍然有意義。在緊黎曼曲面情形下，泰希米勒斷言，在一個指定的映射的同倫類中，極值映射是存在的，而且是唯一的。極值映射如不是共形的，則除有限個點外，在每一點附近都是一個共形映射、一個仿射變換與另一個共形映射的複合。這些，就是對極值問題的基本結果、泰希米勒定理的直觀描述。
套用及發展
如果 則以μ(z)為係數的貝爾特拉米方程的基本同胚ƒ(z)，在略去關於ε 的高階項以後，可以表示為 這個近似表示是變分公式的精緻化，在研究極值問題時有許多套用。極值問題一開始就支配著擬共形映射理論。對於通常由幾何和拓撲條件規定的映射族，要求在族中求得一個映射ƒ，它的最大伸縮商取得最小值。由於緊性，極值映射必存在，但解不一定是唯一的，即使是唯一的，也還有一個如何描述和分析這個解的問題。擬共形性是一種局部性質,所以可在黎曼曲面上推廣,而上述極值問題仍然有意義。在緊黎曼曲面情形下，泰希米勒斷言，在一個指定的映射的同倫類中，極值映射是存在的，而且是唯一的。極值映射如不是共形的，則除有限個點外，在每一點附近都是一個共形映射、一個仿射變換與另一個共形映射的複合。這些，就是對極值問題的基本結果、泰希米勒定理的直觀描述。
