基本介紹
- 中文名：共形映射
- 外文名：conformal mapping
- 所屬學科：數理科學
- 別名：保角變換
概述,定義,定理,製圖,複分析,套用,相關知識,
概述
數學上，一個共形變換（保角變換）是一個保持角度不變的映射。更正式的說，一個映射 w=f(z)稱為在
共形(或者保角)，如果它保持穿過的曲線間的定向角度，以及它們的取向也就是說方向。共性變換保持了角度以及無窮小物體的形狀，但是不一定保持它們的尺寸。
圖1.直角格線和它在共形映射f下的像
圖1.直角格線和它在共形映射f下的像例：右圖1，直角格線(頂部)和它在共形映射f下的像(底部)。可看出f把以 90°相交的成對的線映射成仍以 90°相交的成對曲線。
定義
僅具有保角性和伸縮率不變性的映射稱為第一類保角映射；而具有伸縮率不變性和保持角度絕對值不變而旋轉方向相反的映射稱為第二類保角映射。
例：
是第二類保角映射。
圖2.第二類保角映射圖例定理
定理一（黎曼定理)對邊界多於一點的任意兩個單連通域 D和 G，對任意給定的實數點
及
， 總唯一存在把D一一映射為G的
,使得
，
。
定理二（保域性）解析函式（不恆為常數）把區域映射為區域。
定理三（邊界對應原理）設區域 D的邊界為簡單閉曲線C，w=f(z)在
上解析，則將C一一映射為區域G的邊界 Γ，且保邊界方向。
製圖
其例子有麥卡托投影和極射投影。
複分析
套用
共形映射是複變函數論的一個分支，它從幾何的觀點來研究複變函數，其通過一個解析函式把一個區域映射到另一個區域進行研究。這個性質可以將一些不規則或者不好用數學公式表達的區域邊界映射成規則的或已成熟的區域邊界。共形映射的方法，解決了動力學，彈性理論，靜電場與磁場等方面許多實際問題，套用很廣。
共形映射在數據擬合效果評價中的套用
共形映射可以將數據間很小的差異放大，使得圖件直觀性更好。映射後，擬合曲線將變成一個圓周，數據點也以一定的幅角分布在複數坐標上，能夠快速地判斷數據點位於哪兩個圓周形成的圓環範圍內; 經逆映射後，可以快速地找到實測數據點的上下限曲線方程。
