保角變換

取z=ω(ζ)，式中ζ=ξ+iη，則在像平面ζ上的每一個點(ξ，η)必在物理平面z上有一個點(x，y)與之對應。假設S為ζ平面上的一條曲線，若令某點沿S移動，則對應點z在z平面上劃出一條曲線S'。如果ω(ζ)是解析的，且ω'(ζ)≠0，則在ζ平面上原來夾角為α的兩條曲線S₁和S₂，經過上述變換，在z平面上劃出的兩條曲線S₁'和S₂'的夾角仍為α，則變換z=ω(ζ)稱為保角變換。

基本介紹

• 中文名：保角變換
• 外文名：conformal transformation
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：映射、變換、單值函式等

基本知識

當變換為單值函式時，對於Z平面上的一個點，在W平面就有一點叫與之對應；對於Z平面上的一條曲線C，W平面就有一條曲線C'與之對應；同樣，在Z平面上的一個圖形D，也在W平面就有一個圖形D'與之對應，這種對應關係稱為映射，或稱為變換．如圖1所示。在這種變換中，儘管圖形的形狀要發生變化，但是相應的兩條曲線之間的夾角卻保持不變，所以該變換也叫做保角變換。

圖1（a）

圖2（b）

為了證明保角性，設Z平面的點，沿曲線有一個增量，沿曲線有一個增量；相應的W平面的點，沿曲線有一個增量，沿曲線有一個增量，於是

當不等於零時，它們之間的輻角關係為

以上兩式相減，得

即

這樣就證明了保角性。在變換前後，圖形的形狀要產生旋轉和伸縮，但是兩條曲線之間的夾角保持不變。使用保角變換法求解靜態場問題的關鍵是選擇適當的變換函式，將Z平面上比較複雜的邊界變換成W平面上較易求解的邊界。

注意事項

使用保角變換應注意以下幾點。

(1)如果變換以前勢函式滿足拉普拉斯方程，則在變換以後勢函式也滿足拉普拉斯方程。如果變換以前勢函式滿足泊松方程，即

則在變換以後，勢函式滿足以下泊松方程：

式中，。這表明，二維平面場的電荷密度經過變換以後要發生變化，但是電荷總量不變，其理由是

而

所以

(2) 在變換前後，Z平面和W平面對應的電場強度要發生變化，它們之間的關係為

這是因為，從Z平面變換到W平面時，線元的長度要伸長倍，相應的電場強度要減小倍。

(3) 變換前後，兩導體之間的電容量不變。這裡的電容是指單位長度的電容。因為變換前後兩個導體之間的電位差不變，兩導體面上的電場和電荷密度發生了變化，但是，導體上的電荷總量不變。如取為Z平面上導體表面，為變換以後W平面上的導體表面，則沿軸線方向單位長度的上的總電荷為

則沿軸線方向單位長度的上的總電荷為

因為

所以有

可以使用這個性質方便地計算兩個導體之間的電容量。

例題解析

例1 設無限長同軸線的內導體半徑為，電位為；外導體內半徑為b，電位為零。內、外導體間充滿介電常數為的均勻介質。試計算同軸線的電位分布及單位長度的分布電容。

解：套用對數形式的複變函數計算電位分布。因為是二維平面場，在Z平面上導體邊界形狀是圓，所以選擇u為等位線。

設，令

由邊界條件確定常數A和，即

於是

則

令，得

因此，Z平面上u是以軸心為圓心、以為半徑的一簇同心圓。

Z平面上內、外導體間的介質區域，通過保角變換變為W平面上一長方形區域。在W平面上計算單位長度電容，只需求出距離為、寬度為的平板電容器的單位長度電容，所以計算要簡單得多。