邊界對應定理

邊界對應定理(theorem of boundary correspondence)是複變函數幾何理論的基本定理之一。設z平面上單連通區域D的邊界是一條閉簡單連續曲線C，設單葉函式w=f(z)把D映射成單位圓|w|<1。那么這函式的定義可以唯一地推廣到C上，使所得函式把閉區域D∪C連續雙射成|w|≤1。

基本介紹

• 中文名：邊界對應定理
• 外文名：theorem of boundary correspondence
• 屬性：複變函數幾何理論的基本定理之一
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：複變函數論(幾何函式論)
• 相關概念：共形映射，有界單連通區域等

基本介紹

黎曼定理指出某些區域可用單葉函式共形映射成圓盤，但無法說明已給區域與圓盤的邊界之間是否有對應關係。對於以約當曲線為邊界的區域，有一個比較簡單的結果。

定理1(邊界對應定理)設

(1) 有界單連通區域D與G的邊界分別為圍線；

(2)將D共形映射成G；

則可以擴張成，使在D內F，在上連續，並將c雙方單值且雙方連續地變成

邊界對應定理的逆定理

定理2(邊界對應定理的逆定理，判斷解析函式單葉性的充分條件)

設單連通區域D及G，分別是兩條圍線的內部，且設函式滿足下列條件

(i)在區域D內解析，在上連續；

(ii) 將c雙方單值地變成C，

則：(1)在內單葉；(2)(從而將D共形映射成G)。

證明設為G內任一點，我們證明，而且方程在c內部只有一個根，根據輻角原理

(在z沿c的正向繞行一周的假定下)。由假設條件(ii)，這時應該沿的正向或負向繞行一周。因此，起點在終點在上的向量應該轉角，於是

負號顯然應該除去(因為N≥0)，因此我們肯定必須沿的正向(的內部在此方向的左邊)繞行，並且方程在區域D內只有一個根。

其次，設位於的外部，則必，因為

即方程在D內無根。

再設為上的任一點，我們證明方程在D內無根。假定D內有一點，使，則可得一個以為中心的圓周，使對內部任意一點，方程在D內有根(因區域，為其內點)。特別在內部取一點位於的外部，由第二段的證明，方程在D內無根，發生矛盾。

綜合上述討論可知函式在D內單葉，並將D共形映射為的內部G。

【例1】如果將函式表成極坐標的形式，令

則它把z平面上的圓周(見圖1)

變成心臟線

並且是雙方單值的。

由定理2(單葉性原理)，將這個圓周的內部共形映射成心臟線的內部。

圖1（a）

圖1（b）