設D是一區域，若屬於D內任一簡單閉曲線的內部都屬於D，則稱D為單連通區域，單連通區域也可以這樣描述：D內任一封閉曲線所圍成的區域內只含有D中的點。更通俗地說，單連通區域是沒有“洞”的區域。
基本介紹
- 中文名：單連通區域
- 外文名：simply connected domain
- 所屬學科：數學
- 特點：沒有“洞”的區域
- 相關概念：簡單閉曲線、圍線、多連通區域等
基礎知識,單連通區域的一些性質,單連通區域內的柯西積分定理,
基礎知識
先介紹平面曲線的有關概念。
定義1 設平面曲線
，其中
是實的連續函式，那么曲線C就稱為連續曲線，
分別稱為C的起點與終點，若在
上，
都連續且對每一個t，有
，那么曲線C稱為光滑曲線。由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為逐段光滑曲線。對於滿足
的
與
，當
且
成立時，點
稱為曲線C的重點。沒有重點的連續曲線C稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線。若簡單曲線C的起點與終點重合，即
，那么曲線C稱為簡單閉曲線。如圖1所示。
圖1（a）
圖1（b）任意一條簡單閉曲線C把整個複平面唯一地分成三個互不相交的點集，其中除去C以外，一個是有界區域，稱為C的內部，另一個是無界區域，稱為C的外部，C為它們的公共邊界，簡單閉曲線的這一性質，其幾何直觀意義是很清楚的。
定義2 複平面上的一個區域D，如果在其中任作一條簡單閉曲線，而曲線的內部總屬於D，就稱D為單連通區域(圖2(a))；一個區域如果不是單連通區域，就稱為多連通區域(圖2(b))。
一條簡單閉曲線的內部是單連通區域(圖2(a))，單連通區域D具有這樣的特徵：屬於D的任何一條簡單閉曲線，在D內可以經過連續的變形而縮成一點，而多連通區域就不具備這個特徵。
圖2（a）
圖2（b）單連通區域的一些性質
我們現在將概述單連通區域的一些性質，這些性質闡明它在全純函式理論中起著重要作用。在這些性質中，(a)和(b)稱為
的內拓撲性質；(c)和(d)涉及
嵌入s2內的方式；性質(e)到(h)按特徵來說是分析性的；(i)是關於環
的代數陳述。
定理1 對於一個平面區域
，下面九個條件中的每一個蘊涵著其餘的各個條件：
(a)同胚於開單位圓盤U；
(b)是單連通的；
(c)對內每一條閉路徑
和對每一個
；
(d)
是連通的；
(e)每一個
能用多項式在的緊子集上一致逼近；
(f)對每一個和在內每一條閉路徑
，
(g)每一個對應一個
，使得
；
(h)如果且
，則存在一個
，使得
(i)如果且，則存在一個
，使得
。
定理2 如果，此處為平面內任意開集，且
在內沒有零點，則
在內調和。
單連通區域內的柯西積分定理
定理3 設
在z平面上的單連通區域D內解析，C為D內任意一條圍線，則
推論1 設在單連通區域D內解析，C為D內任意一條閉曲線(C不必為簡單閉曲線)，則
。
證明: 由於閉曲線C總可以看成區域D內有限條周線銜接而成。因此，由復積分的曲線可加性及定理2即可得結論。
推論2 設函式在單連通區域D內解析，則在D內的積分與路徑無關，即對D內任意兩點
以及D內任意兩條以
為起點，
為終點的路徑
和
，總有
