連續曲線

連續曲線(continuous curve)是複平面上的拓撲基本概念之一，閉線段a≤t≤b(a≠b)到複平面的連續映射稱為連續曲線。若x(t)和y(t)是兩個在區間a≤t≤b上連續的函式，則z=z(t)=x(t)+iy(t)，(a≤t≤b)在平面上確定一條連續曲線γ。若對任意的t₁∈(a，b)及t₂∈[a，b]，只要t₁≠t₂就有z(t₁)≠z(t₂)，則稱連續曲線γ為簡單曲線或若爾當弧，z(a)稱為這條簡單曲線的起點，z(b)稱為這條簡單曲線的終點，若簡單曲線γ還滿足z(a)=z(b)，則稱γ為簡單閉曲線，簡單閉曲線也稱為若爾當曲線。

基本介紹

• 中文名：連續曲線
• 外文名：continuous curve
• 所屬學科 ：數學
• 所屬領域：複變函數論（複平面）
• 屬性：複平面上的拓撲基本概念之一

定義

在直角坐標系中一條連續曲線L的參數方程為

此處是實連續函式，那么在複平面上，連續曲線L就可以表示為

此處是實變數的復連續函式。

相關性質

指定了起點和終點的連續曲線稱為有向曲線，若不作特別說明，一般規定沿參數 t 增加的方向為曲線正方向，即連續曲線(1)以為起點，而以為終點，這時(1)的反向曲線可表作。

若即L的兩個端點重合，則稱L為閉曲線。若有，使得z(t₁)=z(t₂)，它們就是曲線L上的重點，沒有重點的曲線稱為簡單曲線，僅僅在兩個端點重合的曲線稱為簡單閉曲線。

若有使得而z(t)是上的廣義連續函式，則稱L為廣義連續曲線。例如，射線為廣義簡單曲線；直線為廣義簡單閉曲線。

連續曲線經連續函式映照的象仍是一條連續曲線，它的參數表示為。

一條簡單閉曲線L將平面分為兩個沒有交集的區域，它們以L為公共邊界，其中一個為有界的區域，稱為內部；另一個為無界的區域，稱為外部。這是著名的約當定理。

以上結論對擴充複平面上的廣義簡單閉曲線也是正確的，只是被它分成的兩個區域將都是無界的。

如果一個區域的邊界為簡單閉曲線，則規定邊界曲線(相對於區域的)正方向為：當沿邊界曲線正方向行進時，區域應保持在其左方。

擴充複平面上的一個區域D稱為單連通區域，若屬於D的任意一條簡單閉曲線的內部或外部之一仍屬於D，否則就稱為多連通區域。複平面及擴充複平面本身就都是單連通區域。

例如，圓周將擴充複平面分為兩個區域，圓內及圓外，它們都是單連通區域，它們以圓周為公共邊界。顯然，對於不包含點的複平面，圓外不再是單連通區域，而是一個無界的多連通區域。

從擴充複平面上除去一條非閉的簡單曲線L，餘下的部分是一個單連通區域，這樣的非閉的簡單曲線L形象地稱為割口，所得的區域稱為帶割口的區域，割口上的點(非端點)看作是重疊在一起的分別屬於割口兩側的兩個邊界點。

例如沿正半實軸割開的複平面：就是一個帶割口的區域；沿著區間[一1，1]割開的擴充複平面也是一個帶割口的區域。

設是複平面上n+1條簡單閉曲線，其中這n條曲線互不相交且互不包含另一條曲線在其內部，但它們全在L₀的內部，則稱以這n+1條簡單閉曲線為邊界的區域為n+1連通區域。特別地，上述的n+1條簡單閉曲線都允許其中任意一條退化為一段制口，甚至是一個孤立點，例如圓環及鄰環都是有界的二連通區域；再如,若L₀退化為點，那得到的將是擴充複平面上的無界的n+1連通區域；若L₀不存在，那么，以這n條曲線為邊界的區域就是擴充複平面上的無界的n連通區域。