分式線性變換

給定滿足條件ad-bc≠0的四個復常數a，b，c，d，把由函式w=f(z)=(az+b)/(cz+d)定義的變換稱為分式線性變換，定義中的條件ad-bc≠0 是為了保證變換的保角性。分式線性變換是最簡單的共形映射，同時也是共形映射一般理論的基礎，並且具有許多幾何直觀十分明顯的重要性質。在建立邊界為圓弧或直線的區域之間的共形映射時，分式線性變換是一個非常有利的工具。

基本介紹

• 中文名：分式線性變換
• 外文名：linear fractional transformation
• 所屬學科：數學（複變函數）
• 相關概念：保角變換、分時線性函式等

基本介紹

由分式線性函式

所給出的映射叫做分式線性變換，它有幾個特殊形式：

（1）平移變換這是整個平面的一個平移，每一個點都移動一個向量b。

（2）旋轉變換（是實數），這是以原點為中心的一個旋轉，旋轉角為。

（3）相似變換這是一個以原點為中心，伸張係數為r的相似變換。

（4）倒數變換它又可以分解為: 及前者是一個關於單位圓周的反演變換，後者是一個關於實軸的反射變換。

對任意分式線性變換，可分為兩種情況;

1.若c=0，它是一個整線性變換可由（1）一（3）三種簡單變換疊合而成。

2.若把它改寫成，可由（1）—（4）四種簡單變換疊合而成。

分式線性變換的性質

定理1

任一個分式線性函式(1)，給出一個從閉z平面到閉w平面的雙方單值的保角變換(這裡我們定義兩條曲線交在無窮遠處的角，等於它們在倒數變換下的象曲線在原點的交角)。

定理2

(保圓性)分式線性變換把圓周變成圓周。

這裡及下面幾個定理中，所說到的圓周，都包括直線在內，也就是說，把直線看成是通過無窮遠點的圓周。這樣，一個圓周經過分式線性變換後，究竟是變成直線還是普通圓周，只要看它上面有沒有無窮遠點就可以確定。

定理3

(保對稱點不變性)分式線性變換把對某一圓周為對稱的點，變為對這個圓周的象對稱的點。

定理4

任給z平面上三個不同的點和w平面上的三個點則存在唯一個分式線性變換，把分別變為而且這個分式線性變換可表為

這裡。

如果或中的某一個是只需在(2)式中把含有這個數的因子改為1即可，例如，當時，(2)式成為

即

由保圓性可知，分式線性變換(1)，把由三點所確定的圓周C，變成由三點所確定的圓周C'，圓周C和C' 分別將z平免和w平面分成兩個區域及和及，而且變換(1)把由經走向時，位在左邊的區域，變成在w平面上，由經走向時，位在左邊的區域。

利用分式線性變換解題時，下述事實是經常有用的: 如果一個分式線性變換滿足條件則這個變換可以表為

(k為任意復常數).

特別地，若則。