反演變換:數學反演變換,定理一,定理二,作已知點的反演點的方法,圓的反演變換,性質

設在平面內給定一點O和常數k（k不等於零），對於平面內任意一點A，確定A′，使A′為直線OA上一點，並且有向線段OA與OA′滿足OA·OA′=k，我們稱這種變換是以O為反演中心，以k為反演冪的反演變換，簡稱反演。稱A′為A關於O（r）的互為反演點。

當k>0時，有向線段OA與OA′同向，A與A′在反演極同側，這種反演變換稱為正冪反演，亦叫雙曲線式反演變換。

當k<0時，有向線段OA與OA′反向，A與A′在反演極異側，這種反演變換稱為負冪反演，亦叫橢圓式反演變換。

在某一反演變換中相互對應的兩個圖形互為反演圖形或反象。

基本介紹

中文名：反演變換
外文名：inversion
學科：數學
特點：兩個圖形相反
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數學反演變換,定理一,定理二,作已知點的反演點的方法,圓的反演變換,性質,畫圖,

數學反演變換

正冪反演的性質：

1、反演中心不存在反演點。不共線的兩對反演點共圓，且此圓與反演基圓正交。與反演基圓正交的圓，其反象為原圓。

2、反演變換φ把通過反演中心O的任一條直線變成自身。即通過反演中心的任何直線都是該反演變換下的不變圖形。（直線→直線）

3、反演變換φ把任一條不通過反演中心O的直線變成一個通過反演中心O的一個圓，而且這個圓周在點O的切線平行於該直線。（直線→圓）

4、反演變換φ把任一個通過反演中心O的圓周變成一個不通過反演中心O的一條直線，而且這條直線平行於該圓的過點O的切線。（圓→直線）

註：性質3和4互為逆命題。

5、反演變換φ把任一個不通過反演中心O的圓周變成不能過反演中心O的圓周。（圓→圓）

由於可以把直線看成圓周，上述性質2—5可經綜合為

定理一

反演變換把（廣義）圓周變成（廣義）圓周。這個定理常稱為反演變換的保圓性。

6、任何兩條直線在它們的交點A的夾角，等於它們的反演圖形在相應點A′的夾角，但方向相反。

7、兩個相交圓周在交點A的夾角等於它們的反演圖形在相應點A′的夾角，但方向相反。

8、一條直線和一個圓周在交點A的夾角等於它們的反演圖形在相應點A′的夾角，但方向相反。

上述性質6—8可經綜合為

定理二

兩相交（廣義）圓周在交點A的夾角，等於它們的反演象（廣義）圓周在相應點A′的夾角，但方向相反。定理二稱為反演變換的反向保角性。

因反演變換具有保圓性和反向保角性而成為證題和作圖中的重要工具。由定理一、二易得：

9、正交兩圓其反象仍正交。

10、相切兩圓的反象仍相切，若切點恰是反演中心，則其反象為兩平行線。

負冪變換可以轉化為一次正冪變換和一次關於反演極反射的積來代替。

作已知點的反演點的方法

給出反演極O和反演冪k>0，作點A的反演點A′。

令k=r^2，作出反演基圓⊙O（r），

1）若點A在⊙O（r）外，則過點A作圓的切線(兩條),兩個切點相連與OA連線交點就是點A′。

2）若點A在⊙O（r）內，則把上述過程逆過來：連結OA，過點A作直線垂直於OA，直線與⊙O（r）的交點處的切線的交點就是點A′。

3）若點A在⊙O（r）上，反演點A′就是點A自身。

圓的反演變換

性質

1.除反演中心外，平面上的每一個點都只有唯一的反演點，且這種關係是對稱的，位於反演圓上的點，保持在原處，位於反演圓外部的點，變為圓內部的點，位於反演圓內部的點，變為圓外部的點。舉個最簡單的例子，區間(0,1]以1為反演半徑，那么反演後的區間就是[1,+∞)，這就是一維反演，而圓的反演是二維反演。

2.任意一條不過反演中心的直線，它的反形是經過反演中心的圓，反之亦然，特別地，過反演中心相交的圓，變為不過反演中心的相交直線。
　　

畫圖

1.首先約定，反演圓的圓心O是反演中心。規定反演半徑就是反演圓的半徑r（在解題和具體的套用上，可以用不同的反演半徑，不必非得是反演圓的半徑）。再約定，如果A經過反演之後變成A'，那么，O、A、A'共線，且OA·OA'=r^2。具體的作圖過程，見下面的圖1。注意，要把反演點視為圓和直線的交點，而不是圓和線段的交點，因為反演點有可能跑到線段的延長線上，此時幾何畫板有可能忽略這些點。