橢圓型反演變換(elliptic inversion transformation)是反演變換的一，指反演冪k<0的反演變換。根據反演變換的定義及任何一個實數的平方不會是一個負數，橢圓型反演變換不存在二重點。
基本介紹
- 中文名：橢圓型反演變換
- 外文名：elliptic inversion transformation
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：幾何變換
- 簡介：反演冪k<0的反演變換
基本介紹,相關介紹,相關定理,
基本介紹
當共線三點A，O，A確定一個橢圓型反演變換時，對任一點B，均可用幾何作圖求出其反演點B′，當A，A′，B不共線時，過該三點作圓，此圓與直線OB的第二交點B′即為B的反演點(如圖1)；當A，A′，B共線時，可按比例第四項作圖，求出OB′的長以確定B′點。
圖1定義1 設O是平面π上的一個定點，k是一個非零常數。如果平面π的一個變換，使得對於平面π上任意異於O的點A與其像點A' ，恆有
(1)A'、O、A三點共線；
(2) 
，
則這個變換稱為平面π的一個反演變換，記作I(O,k)，其中定點O稱為反演中心，常數k稱為反演冪，點A'稱為A的反點。當反演冪k> 0時，反演變換I(O,k)稱為雙曲型反演變換；當k < 0時，反演變換I(O,k)稱為橢圓型反演變換，顯然，當點A'是點A的反點時，點A也是點A'的反點，因而點A與A'互為反點。由此可見，反演變換是可逆的，且其逆變換就是自身。
相關介紹
從反演變換的定義可以看出，反演中心在普通平面上不存在反點，除此之外，平面上其他的任意一點都存在唯一的一個反點。因此，嚴格地講，“反演變換”不是平面π的一個變換，而只是平面π的一個“擬變換”(因為有一個點沒有像)，但如果將平面π去掉反演中心，則“反演變換”仍是這個有“洞”的殘缺平面的一個一一變換。
在反演變換I(O,k)下，如果平面π的圖形F的像為圖形F'，則圖形F'稱為圖形F關於反演變換I(O,k)的反形，簡稱圖形F'是圖形F的反形。
顯然，在反演變換下，如果圖形F'是圖形F的反形，則圖形F是圖形F'的反形，因而圖形F與圖形F'互為反形。
反演變換的不動點稱為自反點；而反演變換的不變圖形則稱為自反圖形。
如果反演變換I(O,k)是一個雙曲型反演變換，即反演冪k>0，令
，則以反演中心O為圓心、r為半徑的圓稱為反演變換I(O,k)的反演圓，而r則稱為反演半徑。
如果反演變換I(O,k)是一個橢圓型反演變換，即反演冪k<0，令
,則以反演中心O為圓心、r 為半徑的圓也稱為反演變換
的反演圓，r則稱為反演半徑。
無論是雙曲型反演變換，還是橢圓型反演變換，它們都有一個反演圓，圓心為反演中心，當反演冪為k時，反演半徑為
。且由反演變換的定義知，反演圓是反演變換的自反圓；雙曲型反演變換的反演圓上任意一點都是自反點；橢圓型反演變換的反演圓上任意一點都變為這一點的對徑點(以這一點為一端點的直徑的另一端點)；橢圓型反演變換沒有自反點；反演圓內的點(除圓心外)的反點在反演圓外，而反演圓外的點的反點則在反演圓內(下圖)。
如果給定了一個圓心為O，半徑刃r的⊙(O,r)，則它即可唯一確定一個雙曲型反演變換
，也可唯一確定一個橢圓型反演變換
，它們都以⊙(O,r)為反演圓，那么，怎祥作出一個已知點的反點呢?由於當A'是點A關於反演變換的反點時，A'關於反演中心O的對稱點即點A關於反演變換的反點。因此，我們只需討論已知點A關於雙曲型反演變換的反點A'的作法即可，而這個作法是非常簡單的：
如果點A在反演圓⊙(O,r)外,由A作⊙(O,r)的兩條切線，切點分別內P、Q，則OA與PQ的交點A'(亦即PO的中點)即為點A關於反演變換的反點(圖4)，這是因為由作法知OP⊥PA，OA'⊥PA'，於是由直角三角形的性質，有OA'.OA = r2。
如果點A在反演圓⊙(O,r)內,則過點A且與OA的垂直的直線必與⊙(O,r)相交，設P內其交點之一，過P作⊙(O,r)的切線與直線OA交於A' ，則A'即為點A關於反演變換的反點(圖5)。
如果點A在反演圓上，則A的反點為其自身。
相關定理
定理1 在反演變換下,不共線的兩對互反點是共圓的四點。
推論1 設A、A'、B、B'、P、P'是關於反演變換I(O,k)的三對互反點,且P、A、B三點不共線，如果O、A、B三點共線，理2設A、B兩點關於反演變換I(O,k)的反點分別為A'、B',則
定理3 設I(O,k1)與I(O,k2)是平面π上具有同一反演中心的兩個反演變換，則
由於位似變換不改變圖形的形狀，因而定理3說明,在反演變換下，反演中心一旦確定，則一個圖形的反形的形狀便隨之確定，與反演冪的大小無關。
基於這個原因，討論圖形在反演變換下的反形的性質時，我們只需對雙曲型反演變換進行討論即可。
定理4 在反演變換下，過反演中心的直線不變，不過反演中心的直線的反形是過反演中心的圓；過反演中心的圓的反形是不過反演中心的直線，不過反演中心的圓的反形仍是不過反演中心的圓。
如果將直線視為半徑為無窮大的圓，則定理5表明，在反演變換下，圓的反形仍然是圓，這是反演變換的一個極為重要的不變性質，稱為反演變換的保圓性。
定理5 在反演變換下，兩條相交曲線在交點處的交角大小不變，方向相反。
推論2 如果兩圓或一圓一直線相切於反演中心，則其反形是兩條平行直線；如果兩圓或一圓一直線相切於非反演中心，則其反形(兩圓或一圓一直線)相切。
推論3 如果兩直線平行，則其反形(兩圓或一圓一直線)相切於反演中心。
推論4如果兩圓，或一圓一直線，或兩直線正交，則其反形亦正交。
定理6 如果反演中心對圓Γ的冪等於反演冪，則圓Γ是反演變換的自反圓。
