默比烏斯變換

默比烏斯變換(Mobius transformation)，也稱莫比烏斯變換，是數論中的一種重要變換。默比烏斯變換是以數學家奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯命名的， 它也被叫做homographic transformations 或 fractional linear transformations。每個莫比烏斯變換都是從黎曼球面到它自身的一一對應的共形變換。

基本介紹

• 中文名：默比烏斯變換
• 外文名：Mobius transformation;homographic transformations
• 所屬領域：數理科學
• 別稱：默氏變換
• 人物：奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯

簡介

1）複平面中的默比烏斯變換

公元1858年，德國數學家默比烏斯(Mobius，1790~1868)發現:把一個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質。因為，普通紙帶具有兩個面(即雙側曲面)，一個正面，一個反面，兩個面可以塗成不同的顏色;而這樣的紙帶只有一個面(即單側曲面)，一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣!這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶，稱為"莫比烏斯帶"。明尼蘇達大學的研究人員道格拉斯·阿諾德和喬納珊·羅格尼斯製作的錄像對"莫比烏斯變換"這一深奧而有趣的現象進行了深入淺出的描述。

莫比烏斯變換是定義在擴充複平面上的（擴充複平面是指在普通的複平面加入無窮遠點構成的集合）

擴充複平面可以看做是一個球面，它的另一個名稱就是黎曼球面。每個莫比烏斯變換都是從黎曼球面到它自身的一一對應的共形變換。事實上，所有這樣的變換都是莫比烏斯變換。

所有莫比烏斯變換的集合在函式複合作用下構成一個群，稱為“莫比烏斯群”，記作 。這個群是黎曼球面（作為一個黎曼曲面）的自同構群，因此有時也被記作：

莫比烏斯群同構於三維雙曲空間中的保向等距同構群，因此在三維雙曲空間中的子流形的研究中占有重要地位。

2）數論中的默比烏斯變換

對於給定的數論函式 , ，定義新的數論函式：

稱 為 的默比烏斯變換，而 為 的默比烏斯逆變換。

定義

在幾何學里,默比烏斯變換是一類從黎曼球面映射到自身的函式。用擴展複平面上的複數表示的話，其形式為：

其中z,a,b,c,d為滿足ad−bc≠ 0的（擴展）複數。

(當ad=bc的時候這個表達式退化成一個常數，通常約定常數函式不是默比烏斯變換）。

當c≠0 時，定義

這樣便將默比烏斯變換擴展到整個黎曼球面上。

如果c=0，那么定義

這樣定義後，默比烏斯變換就成為了黎曼球面上的一個一一對應的全純函式。

由於對默比烏斯變換的每一個係數乘上一個相同的係數 後不會改變這個變換:

所以也有的定義中將ad−bc≠ 0 的條件改成ad−bc= 1。這樣的定義下得到的默比烏斯變換可以說是“約簡後”的默比烏斯變換。

默比烏斯變換也可以被分解為以下幾個變換：把平面射影到球面上，把球體進行旋轉、位移等任何變換，然後把它射影回平面上。 默比烏斯變換是以數學家奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯的名字命名的，它也被叫做單應變換（homographic transformation）或分式線性變換（linear fractional transformation）。

分解

默比烏斯變換的實質與反演密切相關。實際上，一個形如

的默比烏斯變換可以分解成四個變換：

1) （按d/c做平移變換）；

2) （關於單位圓做反演變換然後關於實數軸做鏡面反射）；

3) 做關於原點的位似變換然後做旋轉）；

4) （按a/c做平移變換）。

這四個變換的複合就是默比烏斯變換:

在這種分解之下，可以清楚地看出默比烏斯變換的不少基本性質。

首先，由於以上分解中的每個變換都是可逆的（它們的逆變換也十分清楚），因此可以容易地看出，默比烏斯變換的逆變換也是一個默比烏斯變換，而且其表達式可以具體計算。

具體來說，設變換函式 ，其中每一個 都是相應的 的逆變換（反函式），

那么默比烏斯變換f的逆變換就是： 。

性質

1.保角性與保圓性

由於默比烏斯變換可以分解為平移、反演、位似與旋轉變換，因此能夠保持所有反演變換的性質。一個基本的例子是保角性：由於平移、反演、位似與旋轉變換都保持角度不變，因此兩個複數（或向量）之間的幅角差（夾角）在經過莫比烏斯變換後不變。

此外，一個廣義圓經過默比烏斯變換後，仍會映射到一個廣義圓。廣義圓是指黎曼球面上的圓，包括普通的圓形和帶無窮遠點的直線（可以認為是一個半徑無限大的圓）。這也是反演保持廣義圓的結果。當然默比烏斯變換並不是將圓映射到圓，將直線映射到直線，經過映射後直線可能變成圓，圓也可能變成直線。

2.複比不變性

默比烏斯變換也可以保持複數的複比不變。設有四個兩兩不同的複數 ，對應擴充複平面上四個不同的點，它們經過默比烏斯變換後變成 四點，那么複比：

當 中有一個或多個是無窮大時，複比就定義為相應逼近的極限。比如說當四個複數是 時，複比就是：

3.確定默比烏斯變換

給定平面上三個不同點 ，存在著唯一的一個默比烏斯變換 ，使得 分別等於 。這個默比烏斯變換就是：

而由於對於另外的三個不同點 ，也唯一存在一個默比烏斯變換 ，使得 分別等於 。因此，對於任意一組出發點 ，任意一組到達點 ，都唯一存在一個默比烏斯變換，將 分別映射到點 。具體地說，這個變換就是 。作為推論，如果一個默比烏斯變換有三個不動點，那么它是恆等變換。

矩陣表示

默比烏斯變換構成的默比烏斯群 和由二階復可逆矩陣所構成的二階復係數一般線性群 有同態的關係。事實上，考慮一個二階的可逆矩陣： ，其中 ，那么由矩陣的係數 可以寫出一個默比烏斯變換：

而如果考慮映射：

則經過計算可以知道， ，也就是說：

因此 是一個群同態。

注意

對所有的複數 ， ，所以變換 。因此，可以將起始空間由一般線性群縮小到特殊線性群

。而由於有且僅有單位矩陣

和負單位矩陣 在群同態 下對應的默比烏斯變換是恆等變換，所以 的核是 。根據群同態基本定理，有以下群同構關係：

其中 為複平面上的射影特殊線性群。