默比烏斯定理

默比烏斯定理(Möbius theorem)也稱“麥比烏斯定理”，是射影幾何的重要定理之一。在兩平面π與π′上分別建立坐標系，設π上任意四個不同點P_i(i=1，2，3，4)，其中無三者共線；π′上任意四個不同點P′_i(i=1，2，3，4)，其中也無三者共線，則從π到π′存在惟一一個非奇異線性變換使P_i對應P′_i(i=1，2，3，4)。默比烏斯(A.F.Möbius)發展了射影幾何學的代數方法，對19世紀射影幾何的進展做出了重要貢獻。

基本介紹

• 中文名：默比烏斯定理
• 外文名：Möbius theorem
• 別名：麥比烏斯定理
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(射影幾何)

基本介紹

默比烏斯定理 設A、B、C、D、E、F為空間的六個點，(ABDF)表示由 為棱組成的平行六面體的有向面積(其他仿此)，則

(ABDF)(CDEF)+(BCDF)(ADEF)+(CADF)(BDEF)=0．

該定理是麥比烏斯於1827年得到的。

取F為原點，設 ，則據雙重向量積有

和 ，

於是得 和

因為後兩個等式的左邊相同，所以它們的右邊必相等。

即

注意到三向量的混合積 ，就等於以 為棱組成的平行六面體的有向體積，也就是 =(BCDF)，其餘仿此。

又 ，

所以

兩圓的麥比烏斯定理

通過兩圓的交點A分別作兩條直線PQ和P'Q'，分別與圓相交於P、P'和Q、Q' ，則PP'與QQ'的交角∠S的大小一定。

圖1

該定理是德國數學家麥比烏斯於1837年得到的。設兩圓的另一個交點為B，連結AB、P'B、BQ'，因為兩圓中的AB弧確定，所以∠Q'P'B和∠P'Q'B大小一定，從而∠P'BQ'的大小也一定，又因為∠SPQ=∠P'BA，∠ABQ' =∠Q，所以∠SPQ+∠SQP=∠P'BA+∠ABQ' =∠P'BQ'為定值，因此，PP'與QQ'的交角∠S的大小一定。

圖2

如果過A點分別作兩圓的切線CD、EF，則∠CAQ'=∠Q，∠P'PA =∠P'AF，所以∠S =∠P'PA一∠Q =∠P'AF-∠Q。但∠CAQ' =∠P'AD，故∠S=∠P'AF-∠P'AD= ∠DAF。由於∠DAF是兩圓的交角，它的大小是一定的。所以∠S的大小也一定。應當注意，這裡只是給出了一種情形，還有多種情形的圖存在。

圖3

拋物線的麥比烏斯定理

分別過拋物線內接三角形ABC的頂點作切線，設它們各交於A'、B'、C'，則

該定理是麥比烏斯於1827年得到的。

設拋物線的方程為

其內接三角形頂點A、B、C的坐標各是，則

的絕對值，通過計算得

圖4

分別過A、B、C的該拋物銭的切線方程為

由(1)與(2)聯立，解得，所以點A'的坐標為，同祥可得B'、C'的坐標各為

所以的絕對值，通過計算得

所以。